Pallone da rugby. La superficie del pallone da rugby in figura si può pensare ottenuta dalla rotazione di una semiellisse di un giro completo intorno alla retta $r$. Le sezioni della superficie del pallone tramite piani perpendicolari alla retta $r$ sono dunque circonferenze, di cui quella di massima lunghezza ha diametro 19 cm . Calcola il volume del pallone da rugby, tenendo conto dei dati in figura.
Spiegare e agomentare.
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Livello 2
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
equazione dell'ellisse, la risolvo rispetto ad y:
y = - √(a^2 - x^2)·(b/a) ∨ y = √(a^2 - x^2)·(b/a)
e considero la y = √(a^2 - x^2)·(b/a)
Nel nostro caso:
-a ≤ x ≤ a
-b ≤ y ≤ b
a = 30/2 = 15 cm
b = 19/2 = 9.5 cm
Il volume dell'ellissoide di rotazione lo calcoliamo come integrale definito di:
pi·(√(a^2 - x^2)·(b/a))^2 = pi·b^2·(a^2 - x^2)/a^2
valutato da x=-a ad x = a
∫(pi·b^2·(a^2 - x^2)/a^2) dx = pi·b^2·x - pi·b^2·x^3/(3·a^2)
pi·b^2·a - pi·b^2·a^3/(3·a^2) = 2·pi·a·b^2/3
pi·b^2·(-a) - pi·b^2·(-a)^3/(3·a^2) = - 2·pi·a·b^2/3
Quindi
Vx=2·pi·a·b^2/3 - - 2·pi·a·b^2/3 = 4·pi·a·b^2/3
Nel nostro caso.
Vx = 4·pi·15·9.5^2/3 = 1805·pi cm^3
Vx=5671 cm^3 circa
115467
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Genius III
