[Risolto] Calcolo di un Integrale doppio

Il dominio di integrazione è tutta la semicirconferenza al di sopra della bisettrice

quindi abbiamo $\pi/4 \leq x \leq 5/4 \pi$ e $0\leq \rho \leq 1$. Otteniamo:

$\int_{\pi/4}^{5/4\pi} \int_0^1 \sqrt{1-\rho^2}\rho d\rho d\theta$

che possiamo separare come:

$\int_{\pi/4}^{5/4\pi} d\theta \int_0^1 \sqrt{1-\rho^2}\rho d\rho$

Quindi l'integrale su $\theta$ è bello e fatto, per l'altro ci serve la derivata:

$(5/4 \pi - \pi/4) * (\frac{-1}{2})\int_0^1 \sqrt{1-\rho^2}(-2\rho) d\rho=$

$-\frac{\pi}{8} [\frac{(1-\rho^2)^{3/2}}{3/2}]_0^1=$

$-\frac{\pi}{8} [\frac{(1-1)^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{3/2}]=$

$-\frac{\pi}{8} [ - \frac{2}{3}]= + \frac{\pi}{12}$

Noemi

Cerco di aiutarvi solo von i procedimenti perché dal telefono non so scrivere i passaggi.

L'angolo theta non dovrebbe andare da pi/4

a 5/4 pi per descrivere y>= x? 

Il calcolo é stato svolto egregiamente da Noemi.