Calcolo di aree e volumi

L'equazione del fascio di parabole passante per due punti $A(A_x,A_y) \; e \; B(B_x, B_y)$ è data dalla

$ y = m_0x+q=+k(x-A_x)(x-B_x)$

dove con $ y = m_0x+q $ si intende la retta passante per A, B.

Nel nostro caso:

• A(4,0)
• B(0,0)
• retta AB; y = 0
• fascio di parabole, Γ:  y = k(x-4)x  ⇒  y = k(x²-4x)

a.  Parabola γ₁ che passa per P(2, 4)

$ 4 = k(4-8)  \; ⇒ \; k = -1 $

$ γ₁: y = 4x - x^2 $

b.  Parabola γ₂ che passa per Q(2, 2)

$ 2 = k(4-8)  \; ⇒ \; k = -\frac{1}{2} $

$ γ₂: y = -\frac{x^2}{2} + 2x $

c.   Volume V calcolato come differenza dei due volumi

$ V = \pi \int_0^4 (4x-x^2)^2 - (2x-\frac{x^2}{2})^2 \, dx $

$ V = \pi \int_0^4 \; 12x^2-6x^3+\frac{3}{4}x^4 \, dx $

$ V = \pi \; \left. 4x^3-\frac{3}{2}x^4+ \frac{3}{20}x^5 \right|_0^4 $

$ V = \frac{128}{5}\pi $

Grafico.