Calcolo dei limiti (con risultato)

Noto che:

Lim (sin x/x) =1

x->0

Lim (1-cos x) /x² = 1/2

x->0

Il limite dato è equivalente a

lim (sin x/x) * [(1 - cos x)/x²]*[ x/(radice (7, 1+3x) - 1)] =1*(1/2)*(7/3) =7/6

x->0

 

Osserviamo che nel rapporto che definisce la funzione

SIN(x)·(1 - COS(x))/(((1 + 3·x)^(1/7) - 1)·x^2)

compare:

SIN(x)/x

per cui vale il limite notevole:

LIM(SIN(x)/x) =1

x---> 0

Questo ci permette per la valutazione del limite in studio di considerare solo:

(1 - COS(x))/(((1 + 3·x)^(1/7) - 1)·x)

il cui limite per x--->0 dovrebbe valere 7/6. Vediamo se è vero.

A tal fine scriviamo in maniera equivalente:

(1 - COS(x))/(((1 + 3·x)^(1/7) - 1)·x)·(x/x)

Spezziamo quindi il calcolo del limite di sopra al calcolo dei due limiti delle due parti:

(1 - COS(x))/x^2 e di x/((1 + 3·x)^(1/7) - 1)

sempre per x-->0 per ognuna di esse.

Il primo è uno notevole:

LIM((1 - COS(x))/x^2) = 1/2

x---> 0

( determinabile con De L'Hopital oppure sfruttando la serie di Mac Laurin nell'intorno dello 0)

Per il secondo sfruttiamo De L'Hopital:

N(x)=x----> N'(x)=1

D(x)=(1 + 3·x)^(1/7) - 1----> D'(x)=3/(7·(3·x + 1)^(6/7))

Quindi:

1/(3/(7·(3·x + 1)^(6/7))) = 7·(3·x + 1)^(6/7)/3

il cui limite vale:

LIM(7·(3·x + 1)^(6/7)/3)= 7/3

x--> 0

Applicando quindi il prodotto dei limiti:1/2·(7/3) = 7/6

che è appunto il risultato atteso.