Calcolo area integrale 325

$ y(x) = 2+\frac{4}{x-1} = \frac{2x+2}{x-1} $

y(x) è una funzione omografica cioè un'iperbole equilatera con gli asintoti paralleli agli assi coordinati.

• Dominio  = ℝ\{1}

La funzione di tipo razionale fratta è continua e derivabile laddove definita.

La derivata prima della funzione è 

$ y'(x) = -\frac{4}{(x-1)^2} \; ⇒ \; y'(0) = -4$

• Determiniamo l'equazione della retta tangente nel punto di ascissa x = 0.

Applichiamo la formula (polinomio di Taylor)

$ y(x) = y(0) + y'(0)(x-0)  $ 

quindi

$y = -2-4x $

Tracciamo il grafico dell'iperbole e della tangente.

• Area A

L'area A che cerchiamo è la differenza tra l'area calcolata con l'integrale $ A_i$ rispetto all'asse x con l'area del triangolo $A_t$ formato dalla tangente e gli assi coordinati.

• • $ A_t = \frac{b \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $
  • $ A_i = \int_0^{-1} y(x) \, dx = $

$ A_i = \int_0^{-1} \frac{2x+2}{x-1} \, dx $

$ A_i = 2\int_0^{-1} \frac{x-1+2}{x-1} \, dx $

$ A_i = 2\int_0^{-1} 1 + \frac{2}{x-1} \, dx $

$ A_i = 2\int_0^{-1} 1 + 2\frac{1}{x-1} \, dx $

$ A_i = 2[\left. x+2ln|x-1| \right|_0^{-1} =  -2 +4ln(2) $

L'area A è così

$ A = A_i - A_t = -2 + 4ln(2) -\frac{1}{2} = 4ln(2) - \frac{5}{2}$  

nota. Se preferisci puoi mettere l'integrale tra -1 e 0 ponendo un - davanti all'integrale.