[Risolto] Calcolare il resto

Un software di tutto rispetto e di ottima reputazione (WolframAlpha) mi dice che
* 2^(677^123) mod 99 = 41
è l'obiettivo da dimostrare, non 35.
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La procedura a pag. 7 dei tuoi appunti (Nardozza) che nella risposta
https://www.sosmatematica.it/forum/postid/91013/
avevo riportato come
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CONCLUSIONI (pag. 7)
... consentono di effettuare efficacemente la riduzione modulo n della potenza di un intero,
SEMPRE CHE la base della potenza sia relativamente prima con "n":
per ridurre modulo "n" (cioè: per calcolare il resto della divisione per "n") la potenza "a^e" del numero "a" relativamente primo ad "n" basta
1) ridurre la base "a" modulo "n";
2) ridurre l'esponente "e" modulo "φ(n)";
3) infine, calcolare direttamente il resto della divisione della risultante potenza
per "n".
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Poi la "Osservazione 2.9" dice che nel passo 2 si può sostituire a "φ(n)" il periodo delle potenze di "a", se è minore di "φ(n)".
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mi indica come condurre le operazioni.
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* MCD(99, 2) = 1
1) ridurre la base 2 modulo 99: 2
2) ridurre l'esponente 677^123 modulo φ(99) o π(2^k mod 99) se è minore.
* φ(99) = 60
* π(2^k mod 99) = 30 (2^0 mod 99 = 1, ..., 2^29 mod 99 = 50, 2^30 mod 99 = 1)
* 677^123 mod 30 = 23 (WolframAlpha)
* 2^(677^123) mod 99 = 2^23 mod 99 = 41 (dalla tavola calcolata per π(2^k mod 99))
resta da dimostrare
* 677^123 mod 30 = 23
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* MCD(677, 30) = 1
1) ridurre la base 677 modulo 30: 17
* 677^123 mod 30 = 17^123 mod 30
2) ridurre l'esponente 123 modulo φ(8) o π(17^k mod 30) se è minore.
* φ(30) = 8
* π(17^k mod 30) = 4
* 123 mod 4 = 3
* 677^123 mod 30 = 17^123 mod 30 = 17^3 mod 30 = 23 (dalla tavola calcolata per π(17^k mod 30))
QED