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[Risolto] Calcolare il potenziale elettrico a distanza

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Una sfera conduttrice, di raggio $R_1$ e carica $Q$, è circondata da due gusci sferici conduttori concentrici alla sfera. I due gusci sono molto sottili, hanno raggi $R_2=2 R_1$ e $R_3=3 R_1$. Entrambi i gusci hanno carica $Q$.
Calcola il potenziale elettrico a distanza $R_1 / 2,2 R_1$ e $4 R_1$ dal centro, ponendo uguale a zero il potenziale all'infinito.
$$
\left[23 Q /\left(60 \pi \varepsilon_0 R_1\right) ; 31 Q /\left(120 \pi \varepsilon_0 R_1\right) ; 7 Q /\left(40 \pi \varepsilon_0 R_1\right)\right]
$$

photo 6026171233680341481 y
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Luissa
Luissa 
(@luissa)

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20/02/2023 22:19

@luissa 

 
Per calcolare il potenziale elettrico a distanza R dal centro di una sfera carica uniformemente con carica Q e raggio R, si utilizza la formula:
 
V = kQ/R
 
dove k è la costante elettrostatica pari a 1/4πε0.
 
In questo caso, abbiamo tre sfere concentriche cariche, quindi dobbiamo calcolare il potenziale elettrico generato da ognuna di esse e sommarli.
 
Per la sfera interna di raggio R1, il potenziale elettrico generato a una distanza R dal centro è:
 
V1 = kQ/(R)
 
Per i due gusci esterni di raggio R2 e R3, il potenziale elettrico generato a una distanza R dal centro è dato da:
 
V2 = kQ/(R2) e V3 = kQ/(R3)
 
Dobbiamo ora calcolare il potenziale elettrico a distanza R1/2, 2R1 e 4R1 dal centro.
 
A distanza R1/2 dal centro, siamo all'interno della sfera interna e il potenziale elettrico è:
 
V1/2 = kQ/(R1/2) = kQ/(R1/2) = 2kQ/R1
 
A distanza 2R1 dal centro, siamo tra la sfera interna e il primo guscio esterno e il potenziale elettrico è:
 
V2R1 = kQ/(2R1) + kQ/(R1) = 3kQ/(2R1)
 
A distanza 4R1 dal centro, siamo all'esterno del primo guscio esterno e il potenziale elettrico è:
 
V4R1 = kQ/(4R1) + kQ/(2R1) + kQ/(R1) = 7kQ/(4R1)
 
Quindi i risultati sono:
 
- A distanza R1/2 dal centro: V1/2 = 2kQ/R1 = 23Q/(60πε0R1)
- A distanza 2R1 dal centro: V2R1 = 3kQ/(2R1) = 31Q/(120πɛоR¹)
- A distanza 4R1 dal centro: V4R1 = 7kQ/(4R1) = 7Q/(40πε0R1)
 
Questi risultati sono in accordo con le opzioni fornite dal problema. Si può notare che il potenziale elettrico diminuisce all'aumentare della distanza dal centro della sfera, come previsto dalla legge di Coulomb. Inoltre, poiché entrambi i gusci esterni hanno la stessa carica e lo stesso raggio, il loro contributo al potenziale elettrico si somma a vicenda a qualsiasi distanza dal centro.
Da Tiziano 02/05/2023 13:28
 
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gusci

V = k Q / R;  k = 1 / (4 π εo);

V in P a R1/2;

V1 = k Q / (R1/2); (carica della sfera)

V2 = k Q / (3/2 R1); (carica del primo guscio, distanza 2R1 - R1/2);

V3 = kQ / (5/2 R1); (carica del secondo guscio, distanza 3R1 - R1/2);

V (P) = 2 k Q * [1/R1 + 1/(3R1) + 1/(5R1)];

V(P) = 2 k Q / R1 * (1 + 1/3 + 1/5) = 2 K Q (15/15 + 5/15 + 3/15);

V(P) = (2 K Q / R1)  * 23 /15 = 2 * [1 / (4 π εo) R1] * Q * 23/15;

V(P) = 1/ (2 π εo) * Q * 23/15 ;

V(P) = 23 Q/(30 π εo);

 

 

 

mg
mg 
(@mg)

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03/05/2023 11:41
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Il testo dell'esercizio è sbagliato. Ho trovato la correzionne nella Errata corrige del libro. I dati corretti sono:

R2 = 3*R1

R3 = 5*R1

Quindi attenzione alle risposte già date, perché contengono degli errori.

francesco_grieco
francesco_grieco 
(@francesco_grieco)

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04/06/2023 15:17
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