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Livello 2
y = ((2^(1/x) + 3^(1/x))/2)^x
La funzione per x → +∞ ha limite la forma indeterminata: (1^+∞)
Per applicare De L'Hopital riscriviamo la funzione nella forma equivalente:
y = e^(x·LN((2^(1/x) + 3^(1/x))/2))
e calcoliamo il limite per x → +∞ dell'esponente
Poniamo:
1/x = t per cui t → 0
Quindi calcoliamo:
LIM(LN((2^t + 3^t)/2)/t) = (0/0) è la forma!!!
t → 0
N'(x)=(3^t·LN(3) + 2^t·LN(2))/(3^t + 2^t)
D'(t) =1
Forma:
N'(0)=(3^0·LN(3) + 2^0·LN(2))/(3^0 + 2^0) = LN(6)/2
D'(0) =1
Quindi il valore del limite richiesto è:
e^(LN(6)/2) = √6
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Genius III