[Risolto] C.E

4.1) Denominatore diverso ( !=) da zero:

(2x-3)(-x+4) !=0   x !=3/2 e x !=4

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4.2) Argomento della radice >=0 a sistema (indicato con &&) con denominatore diverso da zero

(1-3x)/(4x) >=0 && 4x !=0

x !=0 && 0<= x <=1/3 (diagramma dei segni della prima disequazione)

0<x<=1/3

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4.3) Identico a 4.2

1/(x^2+1)>=0 && (x^2+1)!=0

La prima condizione è sempre verificata a patto che il denominatore non si annulli ma non avviene mai in quanto sempre positivo e mai nullo. L'espressione è definita su tutto R.

Le condizioni d'esistenza di un radicale, che abbia come radicando un'espressione nella variabile x reale, coincidono con quelle del radicando poiché un radicale è solo un modo di scrivere una potenza a esponente razionale e la potenza è operazione definita qual che sia la base.
Perciò tutt'e tre i radicali esistono per i valori di x per cui il denominatore del loro radicando sia non nullo: il loro valore è reale se l'indice è dispari o, se l'indice è pari, per i valori di x per cui il radicando sia non negativo; il radicale di indice pari ha valore immaginario per i valori di x per cui il radicando sia negativo.
Il primo radicale esiste per x non in {3/2, 4}, ed ha valore reale per (x <= 0) oppure per (3/2 < x < 4).
Il secondo radicale esiste per x non zero, ed ha valore reale per 0 < x <= 1/3.
Il terzo radicale esiste ovunque, ed ha valore reale ovunque.