Determiniamo, nel modo più rapido possibile, per quali valori reali di $x$ è definita l'espressione:
$$
\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}
$$
L'espressione $\sqrt{x-1}+\sqrt{x^2-1}$ è definita purché sia soddisfatto il sistema: $\left\{\begin{array}{l}x-1 \geq 0 \\ x^2-1 \geq 0\end{array}\right.$
Invece di risolvere entrambe le disequazioni del sistema, possiamo in questo caso concludere in modo più rapido osservando che, se è verificata la prima disequazione, cioè se $x \geq 1$, è certamente verificata anche la seconda. Infatti:
$$
x^2-1=(x-1)(x+1)
$$
e, se $x \geq 1$, allora i due fattori $x-1$ e $x+1$ sono senz'altro non negativi e quindi anche $x^2-1 \geq 0$.
Dunque l'espressione data è definita purché sia $x \geq 1$.
Determina le condizioni di esistenza e il segno del radicale.
Spiegare gentilmente i ragionamenti e argomentare.
