Date le funzioni $f(x)=-1-4 x^2$ e $g(x)=\sqrt{x-2}$ :
a. $\qquad$
$\qquad$
$\qquad$
c. disegna il grafico di $g(x)$ e determina il punto $P$ di intersezione tra la tangente al grafico nel punto di ascissa 2 e la tangente di coefficiente angolare $\frac{1}{2}$.
[b) $f(g(x))=-4 x+7$, con $x \geq 2$; c) $\left.P\left(2 ; \frac{1}{2}\right)\right]$
150
punti
Livello 1
g = √(x - 2)
x = 2 retta tangente a g in x=2
(g' = 1/(2·√(x - 2)) non definita in x=2)
Determino l'ascissa di g per cui la tangente ha m=1/2:
1/(2·√(x - 2)) = 1/2--->x = 3
Quindi la retta tangente in [3, 1]
(g = √(3 - 2)---> g = 1)
y - 1 = 1/2·(x - 3)---> y = x/2 - 1/2
Punto P:
{y = x/2 - 1/2
{x = 2
quindi: x = 2 ∧ y = 1/2
115479
punti
Genius III
Il grafico di
* g(x) = y = √(x - 2)
è la semiparabola definita da
* (x = y^2 + 2) & (y >= 0)
che ha vertice V(2, 0) dove la richiesta tangente è, ovviamente, x = 2.
La pendenza
* m(x) = dy/dx = 1/(2*√(x - 2))
vale 1/2 in x = 3, cioè nel punto T(3, 1) dove la tangente è
* y = 1 + (x - 3)/2 ≡ y = (x - 1)/2
che incontra la x = 2 in P(2, 1/2).
Vedi al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%3D2%2Cy%3D%28x-1%29%2F2%2Cy%3D%E2%88%9A%28x-2%29%2Cx*y%3D0%5D
57798
punti
Genius I
Siano
\[g(2) = \sqrt{2 - 2} = 0 \implies P_1 = (2,0)\]
\[\frac{d}{dx}\sqrt{x - 2} = \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} \:\Bigg|_{\substack{x = 2}} = \frac{1}{0} \quad \text{indefinita}\,;\]
quindi non esiste alcuna tangente in tale punto.
La retta tangente ha equazione
\[y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \because \frac{1}{2\sqrt{x - 2}} = \frac{1}{2} \iff x = 3 \implies y = 1\,;\]
quindi il punto di intersezione è $P = (2, 1/2)\,$.
3831
punti
Livello 5
