[Risolto] Un solido è composto da un prisma retto a base quadrata ...

Un solido è composto da un prisma retto a base quadrata, alto H = 30 cm ed avente il perimetro di base 2p di 40 cm cui è sovrapposta una piramide quadrangolare regolare la cui base coincide con quella del prisma. Sapendo che l'altezza h della piramide è 2/5 di quella del prisma, determina:

La misura dell'area laterale Alpre e totale Apr del prisma

spigolo di base s = 2p/4 = 40/4 = 10 cm 

area basi Abpr = 2*s^2 = 2*10^2 = 200 cm^2

area laterale Alpr = 2p*H = 40*30 = 1200 cm^3

area totale Apr = Abpr+Alpr = 200+1.200 = 1.400 cm^2

La misura dell'area laterale Apli e totale Api della piramide

area base Abpi = s^2 = 10^2 = 100 cm^2

altezza h = 30*2/5 = 12 cm

apotema a = √h^2+(s/2)^2 = √12^2+5^2 = 13,0 cm

Alpi  = 2S*a = 20*13 ) 260 cm^2

Api = Abpi+Alpi = 100+260 = 360 cm^2

La misura del volume Vs è dell'area totale As dell'intero solido composto

As = Apr+Alpi-s^2 = 1.400+260-100 = 1.560 cm^2

Vs = Abpr*(H+h/3) = 100*(30+4) = 3.400 cm^3

Lo spigolo di base S di un cubo avente la superficie che è i 16/65 di quella del solido composto

S = √1560*16/(65*6) = 8,00 cm 

Il peso P del cubo se è fatto di vetro( ps 2,5 g/cm3).

peso P = 8^3*2,5 = 1.280 grammi

Per risolverlo devi prima comprenderne bene il testo: dare un nome simbolico a tutte le entità rilevanti e scrivere le loro relazioni in funzione di quei nomi, poi manipolare le relazioni ottenute fino a isolare i nomi di ciò che i quesiti chiedono, infine sostituire i valori dati al posto dei loro nomi e calcolare i risultati.
Per comprendere bene il testo di un problema il mio metodo è di sfrondare la narrativa dalle chiacchiere d'ambientazione e lasciare le sole informazioni che definiscono il problema astratto su cui costruire il modello matematico risolutivo; cioè generalizzo il caso, risolvo il modello generale, e poi il caso specifico sostituendo i valori dati ai loro nomi simbolici.
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Misure in: cm, cm^2, cm^3, g.
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"prisma retto a base quadrata" ≡ parallelepipedo retto di spigoli {L, L, H} dove
* L = 40/4 = 10
* H = 30
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"piramide regolare" + "base comune col prisma" + "altezza pari a 2/5 di quella del prisma" ≡
≡ piramide quadrangolare regolare con lato di base L e altezza
* h = (2/5)*H = (2/5)*30 = 12
quindi apotema
* a = √(h^2 + (L/2)^2)
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Le aree laterale SL e totale ST del prisma sono
* SL = 4*L*H
* ST = SL + 2*L^2 = 4*L*H + 2*L^2 = 2*(2*H + L)*L
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Le aree laterale SL e totale ST della piramide sono
* SL = 4*L*a/2 = 4*L*√(h^2 + (L/2)^2)/2 = L*√(4*h^2 + L^2)
* ST = SL + L^2 = L*√(4*h^2 + L^2) + L^2 = L*(L + √(4*h^2 + L^2))
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L'area totale dell'intero solido composto è la somma di quelle dei solidi componenti meno quella delle due basi sovrapposte che, in quanto tali, non appaiono all'esterno.
* STcomposto = STprisma + STpiramide - 2*Sbase =
= 2*(2*H + L)*L + L*(L + √(4*h^2 + L^2)) - 2*L^2 =
= L*(√(4*h^2 + L^2) + 4*H + L)
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Il volume dell'intero solido composto è la somma di quelli dei solidi componenti
* Vcomposto = Vprisma + Vpiramide =
= L*L*H + L*L*h/3 =
= L*L*H + L*L*(2/5)*H/3 =
= (17/15)*H*L^2
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"Lo spigolo di base di un cubo avente la superficie che è i 16/65 di quella del solido composto"
E no! I cubi non hanno mica "spigolo di base", solo "spigolo": per definizione di cubo.
Il cubo di spigolo "s" ha
* area di faccia s^2
* area totale 6*s^2
"16/65 della superficie del solido composto" hanno area
* (16/65)*STcomposto =
= (16/65)*L*(√(4*h^2 + L^2) + 4*H + L)
eguagliando le due espressioni si ha l'equazione
* (16/65)*L*(√(4*h^2 + L^2) + 4*H + L) = 6*s^2 ≡
≡ (16/65)*L*(√(4*((2/5)*H)^2 + L^2) + 4*H + L) = 6*s^2 ≡
≡ s = (2/5)*√(L*√((2/39)*(16*H^2 + 25*L^2)) + 20*H*L + 5*L^2)
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"Il peso del cubo se è fatto di vetro( ps 2,5 g/cm3)."
Beh, insomma!
A questo punto credo che le sostituzioni e l'aritmetica te le possa fare da sola, e così per questo calcoletto finale.