[Risolto] Buongiorno ho un problema con questo testo, non riesco a risolverlo, ho già guardato tutta la teoria

Se è vero ciò che scrivi ("ho già guardato TUTTA la teoria") devi senz'altro aver già visto che ogni parabola Γ con
* asse di simmetria parallelo all'asse x
* apertura a != 0
* vertice V(w, h)
ha equazione della forma
* Γ ≡ x = w + a*(y - h)^2
Nel caso del problema 67 è dato il vertice V(- 2, 4), da cui
* Γ ≡ x = - 2 + a*(y - 4)^2
e l'apertura si ricava dal passaggio per l'origine
* 0 = - 2 + a*(0 - 4)^2 ≡ a = 1/8
da cui l'equazione e la pendenza
* Γ ≡ x = (y - 4)^2/8 - 2
* dy/dx = m(y) = 4/(y - 4) (in quanto dx/dy = y/4 - 1)
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L'arco rimarcato in figura è definito da
* (x = (y - 4)^2/8 - 2) & (y <= 4) ≡
≡ (y = 4 - 2*√(2*(x + 2))) & (x >= - 2)
IL RISULTATO ATTESO E' ERRATO PER INCOMPLETEZZA.
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Assodato quanto sopra non dovresti più avere alcun problema con i quesiti.
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a)
* la tangente di vertice è la sua retta coordinata (r ≡ x = - 2), per definizione ortogonale all'asse di simmetria (y = 4);
* il "punto d'ascissa nulla" è l'origine dove la pendenza di Γ vale m(0) = 4/(0 - 4) = - 1, quindi la tangente è la diagonale dei quadranti pari (s ≡ y = - x);
* quindi r & s ≡ A(- 2, 2).
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b) Da V(- 2, 4) si hanno B(- 2, 0) e C(0, 4)
Il triangolo ABO (rettangolo in B perché AB è sulla r e BO è sull'asse x) ha area S(ABO) pari al semiprodotto dei cateti
* S(ABO) = |AB|*|BO|/2 = 2*2/2 = 2
Il trapezio rettangolo VAOC ha area S(VAOC) pari al prodotto dell'altezza VA con la media delle basi AO e VC
* S(VAOC) = |VA|*(|AO| + |VC|)/2 = 2*(4 + 2)/2 = 6
Il rapporto richiesto è
* S(VAOC)/S(ABO) = 6/2 = 3
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c) Dalla figura della superficie di cui è richiesta l'area si vede che questa è la differenza fra quella del triangolo rettangolo VBO e quella del segmento parabolico VO.
Dal momento che ci assicuri che "hai già guardato TUTTA la teoria" devi senz'altro aver già visto che l'area S del segmento parabolico delimitato dalla corda di estremi V(- 2, 4) e O(0, 0) e dalla parabola
* y = 4 - 2*√(2*(x + 2))
di apertura
* a = 1/8
è data dall'espressione
* S = (|a|/6)*(x0 - xV)^3 = (|1/8|/6)*(0 - (- 2))^3 = 1/6

 

@sofffff

Ciao e benvenuto/a.

Un invito a leggere per bene il 

https://www.sosmatematica.it/regolamento/

poi di precisare le tue difficoltà.

Fotografia dritta!

EX.67

Parabola ad asse orizzontale, passante per l’origine degli assi (c=0) e quindi del tipo:

x=ay^2+by.

L’equazione di questa parabola si determina scrivendo 2 equazioni a sistema:

{passaggio per V(-2,4)

{equazione asse orizzontale  y=-b/(2a)

Quindi:

{-2 = a·4^2 + b·4

{- b/(2·a) = 4

Quindi:

{16·a + 4·b = -2

{b/a = -8

Risolvo ed ottengo: a = 1/8 ∧ b = -1---------> x = y^2/8 – y parabola completa!

L’equazione dell’arco si ottiene risolvendo rispetto alla y:

y = 2·√2·(√2 - √(x + 2)) ∨ y = 2·√2·(√(x + 2) + √2)

Si sceglie quale funzione quella sotto l’asse della parabola ( in grassetto)

y = 4 - √(16 + 8·x)

Per la retta r:    -----------> x=-2

Per la retta s, formule di sdoppiamento:   (x + 0)/2 = y·0/8 - (y + 0)/2------> y = -x

Metto a sistema:

{y = -x

{x = -2                         soluzione: [x = -2 ∧ y = 2]   A(-2,2)

Poi B(-2,0)    e    C(0,4)

AREA Quadrilatero VAOC=(trapezio rettangolo)=(2+4)/2*2=6

AREA triangolo rettangolo ABO=1/2·2·2 = 2

Il loro rapporto valo quindi 3

Per integrazione fra x=-2 ed x=0 della differenza:

4 - √(16 + 8·x) – (-x) si ottiene l’area richiesta: 2/3