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[Risolto] Buonasera gentilmente mi potete aiutare in un problema di trigonometria

  

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In un triangolo acutangolo ABC risulta AC=3cm, sin BAC=2/3 e cos ABC=4/5.Determina L area del triangolo (suggerimento:traccia L altezza CH relativa ad AB)

risultato:(radice5+8/5 cm^2

purtroppo ancora non ho capito bene come si risolvono questi problemi di trigonometria vi prego mi aiutate😥grazie

Autore

Vi ringrazio tantissimo ! ma quale è il metodo giusto ? Sul libro c’è scritto problema da risolvere senza L aiuto della calcolatrice 

4 Risposte



3

 

triangolo4

sen(angolo) = cateto opposto / Ipotenusa;

Tracci l'altezza perpendicolare su AB; il triangolo AHC è rettangolo. AC è l'ipotenusa; l'altezza CH è il cateto opposto all'angolo alfa.

AC = 3 cm.

sen(alfa) = CH / AC

2/3 = CH / 3;

CH = 2/3 * 3 = 2 cm; (altezza che cade su AB);

cos(beta) = 4/5;  

sen^2(beta) + cos^2(beta) = 1;

sen^2  (beta) = 1 - 16/25 = (25 - 16)/25 = 9/25.

sen(beta) = radice(9/25) = 3/5;

3/5 = CH / CB;

CB = 2 * 5/3 = 10/3; (lato del triangolo, ipotenusa del triangolo CHB).

AH = radice(3^2 - 2^2) = radice(5);

HB = radice[(10/3)^2 - 2^2] = radice[100/9 - 4] = radice(64/9);

HB = 8/3;

Base AB = AH + HB = radice(5) + 8/3;

Area = Base * h / 2 = [radice(5) + 8/3] * 2 / 2;

Area = radice(5) + 8/3 cm^2

 

 

Grazie gentilissimo!



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@sharychillemi

Ciao.

Il metodo più opportuno, secondo me, per la risoluzione del problema proposto è di utilizzare il "Teorema dei seni":

a/SIN(α) = b/SIN(β) = c/SIN(γ)

ed applicare poi la formula per il calcolo dell'area:

A = b^2·SIN(α)·SIN(γ)/(2·SIN(β))

Quindi:

SIN(α) = 2/3

COS(β) = 4/5

da cui:

SIN(β) = √(1 - (4/5)^2)

SIN(β) = 3/5

Poi

γ = 180° - (α + β)

SIN(γ) =SIN(180° - (α + β))= SIN(α + β)

SIN(α + β) = SIN(α)·COS(β) + SIN(β)·COS(α)

SIN(γ) = 2/3·(4/5) + 3/5·√(1 - (2/3)^2)

SIN(γ) = √5/5 + 8/15

SIN(γ) = (3·√5 + 8)/15

A = b^2·SIN(α)·SIN(γ)/(2·SIN(β))

Sostituendo si ottiene:

A = 3^2·(2/3)·(3·√5 + 8)/15/(2·3/5)

facendo i calcoli (li lascio fare a te!) si ottiene:

A = (√5 + 8/3) cm^2

Ciao.

 

@sharychillemi

Utilizza le convenzioni per richiamare i vertici, gli angoli ed i lati dei triangoli!



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In un triangolo acutangolo ABC risulta AC = 3 cm, sin BAC=2/3 e cos ABC=4/5.Determina L area del triangolo (suggerimento : traccia l'altezza CH relativa ad AB ; risultato : radice5+8/5 cm^2)

si applica il teorema dei seni, per cui occorre calcolare i tre angoli ed i rispettivi seni 

AC = 3,00 cm 

cos B = 0,800 ; sen B = 0,600  ; angolo B = arccos 0,8 = 36,87°

sen A = 0,666 ; angolo A = arcsen 0,6666 = 41,81 °

angolo C = 180-(36,87+ 41,81) = 180-78,68 = 101,32° ; sen C = 0,981 

AC/sen B = AB/sen C = AB = 3*0,981/0,600 = 4,90 cm 

AC/sen B = BC/sen A = BC = 3*0,666/0,600 = 3,33 cm 

CH = BC*sen B = 3,33*0,600 = 2,00 cm 

area ABC = AB*CH/2 = 4,90*2/2 = 4,90 cm^2



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NOMI
* vertici (A, B, C)
* lati opposti (a = |BC|, b = |AC|, c = |AB|)
* angoli (α = BAC, β = ABC, γ = ACB) interni ad (A, B, C)
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DATI (lunghezze in centimetri)
* ABC è triangolo ≡ α + β + γ = π
* ABC è acutangolo ≡ (0 < α < π/2) & (0 < β < π/2) & (0 < γ < π/2)
* b = 3
* sin(α) = 2/3
* cos(β) = 4/5
* tipo di problema: dati due angoli e un lato risolvere il triangolo.
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RISOLUZIONE TIPICA
* γ = π - (α + β) = π - (arcsin(2/3) + arccos(4/5))
* sin(γ) = (8 + 3*√5)/15 (archi associati + formula di addizione)
* sin(β) = 3/5
* b/sin(β) = 5
* a = (b/sin(β))*sin(α) = 5*2/3 = 10/3 cm
* c = (b/sin(β))*sin(γ) = 5*(8 + 3*√5)/15 = (8 + 3*√5)/3 cm
* A = (8 + 3*√5)/3 cm^2 (formula di Erone)
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RISOLUZIONE SUGGERITA
Non è il caso di imbarcarvisi, la risoluzione tipica è soddisfacente: si ottiene senza calcolatrice, col solo aiuto del testo di Trigonometria.
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NOTA PERSONALE: DEVI SCRIVERE BENE.
La clausola restrittiva "senza calcolatrice" dovevi scriverla nel testo, non in un commento.
L'uso dell'apostrofo è OBBLIGATORIO: se non vuoi usarlo, non elidere.
L'uso delle parentesi è OBBLIGATORIO: se non vuoi usarle, impara LaTeχ.

Scusate non avevo letto bene il titolo che era prima del testo! Mi dispiace saró più attenta!



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SOS Matematica

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