[Risolto] Base ortogonale

Secondo me c'è qualcosa di sbagliato nella traccia di questo esercizio. Un sottospazio di $\mathbb{R}^5$ è formato comunque da vettori di $\mathbb{R}^5$, che costituiscono un insieme chiuso rispetto alle operazioni dello spazio vettoriale... ma di certo non passiamo in $\mathbb{R}^4$! 

La traccia corretta dovrebbe essere la seguente:

Dato il sottospazio vettoriale di $\mathbb{R}^5$

$A = \{(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) \in \mathbb{R}^5 | x_1+x_2-x_3-x_4 = 0, x_1-x_2+2x_4-x_5=0 \}$

si determini una sua base ortogonale e si proietti su di esso il vettore (0,1,1,2,-1).

Detto ciò, tu giustamente hai determinato il generico vettore di A che appunto del tipo:

$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (x_2-2x_4+x_5, x_2, 2x_2-3x_4+x_5, x_4, x_5)$

Per comodità lo scrivo tramite parametri come:

$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = (u-2v+t, u, 2u-3v+t, v, t)$

Determino prima di tutto una base, non ortogonale, sostituendo in modo canonico prima $u=1, v=t=0$, poi $v=1, u=t=0$ e infine $t=1, u=v=0$ quindi abbiamo:

$v_1 = (1,1,2,0,0)$

$v_2 = (-2,0,-3,1,1)$

$v_3 = (1,0,1,0,1)$

Questa base non è ortogonale, ma possiamo renderla tale usando l'algoritmo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt.

Partiamo ponendo:

$ w_1 = v_1 =  (1,1,2,0,0)$

Il secondo vettore lo otteniamo come:

$ w_2 = v_2 - \frac{\left\langle v_2, w_1 \right\rangle}{\left\langle w_1,w_1 \right\rangle} w_1$

Calcolo a parte i prodotti scalari necessari:

$\left\langle v_2, w_1 \right\rangle = (-2,0,-3,1,1) \cdot (1,1,2,0,0) = -2-6=-8$

$\left\langle w_1,w_1 \right\rangle = (1,1,2,0,0) \cdot (1,1,2,0,0) = 1+1+4 = 6$

Da cui:

$w_2 = (-2,0,-3,1,1) - \frac{-8}{6}(1,1,2,0,0) =$

$= (-2,0,-3,1,1)-(-\frac{4}{3},-\frac{4}{3},-\frac{8}{3},0,0) = $

$ = (\frac{-2}{3},\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 1,1)$

Analogamente abbiamo:

$ w_3 = v_3 - \frac{\left\langle v_3, w_1 \right\rangle}{\left\langle w_1,w_1 \right\rangle} w_1 - \frac{\left\langle v_3, w_2 \right\rangle}{\left\langle w_2,w_2 \right\rangle} w_2$

Come prima calcolo a parte:

$\left\langle v_3, w_1 \right\rangle = (1,0,1,0,1) \cdot (1,1,2,0,0) = 1+2 = 3$

$\left\langle v_3, w_2 \right\rangle = (1,0,1,0,1) \cdot (\frac{-2}{3},\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 1,1) =  -\frac{2}{3}-\frac{5}{3}+1=-\frac{4}{3} $

$\left\langle w_2,w_2 \right\rangle = (\frac{-2}{3},\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 1,1) \cdot (\frac{-2}{3},\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 1,1) = 7$

E quindi:

$ w_3 =  (1,0,1,0,1) - \frac{3}{6} (1,1,2,0,0) - \frac{-4/3}{7} (\frac{-2}{3},\frac{4}{3}, -\frac{5}{3}, 1,1) = (\frac{47}{126}, -\frac{31}{126}, -\frac{20}{63}, \frac{4}{21}, \frac{25}{21})$

Noemi