Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = \frac{tanx}{tanx -1} $

• La funzione y(x) è periodica di periodo T = π. Infatti,

$ y(x+π) = \frac{tan(x+π)}{tan(x+π) -1} = \frac{tan(x)}{tan(x) -1} = y(x) $

Rimane da verificare che qualunque numero minore di π non è un periodo per y(x).

Possiamo così studiare la funzione nell'intervallo [0, π] 

• Dominio = [0, π] \ {π/4, π/2}
  • due punti di discontinuità

• Segno 

0______π/4_____π/2_________π

0+++++++++++X++++++++0    tanx

-----------X+++++X++++++++     tanx - 1

0---------X+++++X++++++++0    y(x)

1. y(x) < 0 in (0, π/4)
2. y(x) = per x = 0 e x = π/2
3. y(x) > 0 in (π/4, π/2) e in (π/2, π)

• Asintoti 

La funzione y(x) è periodica quindi non ammette ne asintoti orizzontali ne asintoti obliqui; al più asintoti verticali. Controlliamo nei punti di discontinuità.

• • per x = π/4
    • $\displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^-}y(x) = -\infty$
    • $\displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{4})^+}y(x) = +\infty$
    • E' un asintoto verticale di equazione x = π/4
    • La discontinuità corrispondente è di 2° specie. 

• • per x = π/2
    • $\displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})^-}y(x) = 1$
    • $\displaystyle\lim_{x \to (\frac{\pi}{2})+}y(x) = 1$
    • Non è un asintoto.
    • La discontinuità corrispondente è di 3° specie ovvero eliminabile