Asintoti, punti stazionari e flessi.

$ y(x) = ln|\frac{3x}{x^2-2}| = ln (\frac{3}{2}|\frac{x}{x^2-1}|) $

• Dominio = ℝ\{±1, 0}

• Simmetria. La funzione è pari, visto che y(-x) = y(x) cioè simmetrica rispetto all'asse y

• Asintoti
  • Verticali

Eseguiamo i limiti sui punti di discontinuità

• • • $\displaystyle\lim_{x \to 0} y(x) = -\infty $
      • Asintoto verticale di equazione x = 0
    • $\displaystyle\lim_{x \to 1} y(x) = +\infty $
      • • Asintoto verticale di equazione x = 1
    • Per simmetria, ci sarà un asintoto verticale di equazione x = - 1
•  
  • Orizzontali/obliqui
    • $\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = +\infty $
      • Nessun asintoto orizzontale
    • $ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 0 $
      • Nessun asintoto obliquo, l'unico possibile è m = 0, cioè orizzontale che è stato escluso nel punto precedente.

• Segno y(x)
  • y(x) > 0 La funzione è positiva quando l'argomento del logaritmo è maggiore di 1. Si tratta di risolvere la disequazione

$ |\frac{3x}{2(x^2-1)}| > 1 $ 

Eliminiamo il valore assoluto considerando solo le x positive. Vista la simmetria sarà facile estenderlo al semiasse negativo

$ \frac{3x}{2(x^2-1)} > 1 $

che risulta verificata in (1/2, 1) U (1,2)

Nel semiasse negativo sarà verificata in (-2,-1) U (-1, -1/2)

Riassumendo:

1. y(x) > 0 in (-2,-1) U (-1, -1/2) e in (1/2, 1) U (1,2)
2. y(x) = 0 per  x = ±1/2 e per x = ± 2
3. y(x) < 0 in (-∞, -2) in (-1/2, 0) in (0, 1/2) e in (2, +∞)

• Punti stazionari
  • derivata prima. $y'(x) = \frac{x^2+1}{x(1-x^2)}$
  • Non ci sono punti stazionari quindi ne minimi ne massimi relativi

Grafico

La domanda sui flessi mi sembra eccessiva, tanto è vero che nelle risposte non sono indicati i punti di flesso.