Asintoti e singolarità di funzioni.

$ y(x) = \frac{x^2}{x^2-4x-5} = \frac{x^2}{(x-5)(x+1)} $

• Dominio = ℝ\{-1, 5}
  • Si tratta di una funzione razionale fratta quindi, continua e derivabile laddove definita.
    • Non vi sono punti singolari.
    • x = -1 e x = 5 sono due punti di discontinuità
• Simmetria. Ne pari ne dispari. E' sufficiente osservare i punti di discontinuità.
• Segno. 

______-1____0____5_______

+++++++++0++++++++++   x²

-----------------------X++++++   /(x-5)

--------X++++++++++++++  /(x+1)

++++X-------0------X++++++   y(x) 

segno y(x)

1. y(x) < 0 in (-1, 0) e in (0, 5)
2. y(x) = 0 per x = 0
3. y(x) > 0 in (-∞, -1) e in (5, +∞)

• Asintoti

1°   x = -1

$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} y(x) = +\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} y(x) = -\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = -1

2°   x = 5

$\displaystyle\lim_{x \to 5^-} y(x) = -\infty$

$\displaystyle\lim_{x \to 5^+} y(x) = +\infty$

Si tratta di un asintoto verticale di equazione x = 5

3°   x → ∞

$\displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = 1 $

Si tratta di un asintoto orizzontale di equazione y = 1

• Nessun punto singolare.
• Grafico