Asintoti con parametro.

Calcolo i due limiti:

LIM(e^x + k) =k + 1

x---> 0-

LIM(x^2 - 3·x + 2·k) =2·k

x---> 0+

faccio la differenza in modulo:

ABS(2·k - (k + 1)) = 2----> ABS(k - 1) = 2

per cui può essere:

k - 1 = 2 ∨ k - 1 = -2----> k = 3 ∨ k = -1

per avere un salto pari a 2

----------------------------------

Si ha discontinuità eliminabile se il salto è nullo:

ABS(2·k - (k + 1)) = 0---> ABS(k - 1) = 0

quindi se:

k = 1

In tal caso modifico la definizione introducendo ad una delle due componenti il segno di=

y=

{e^x+1 per x ≤ 0

{x^2 - 3·x + 2   per x>0

a. discontinuità con salto δ = 2

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^-} e^x+k = k+1 $

$ \displaystyle\lim_{x \to 2^+} x^2-3x+2k = 2 k $

Il salto eguale a 2 significa  

$ |δ| = 2 $

$ |2k-k-1| = 2$

$ k -1 ± 2 \; ⇒ \; k = -1 \; \lor \; k = 3$

b.  Discontinuità eliminabile

Questo significa che deve avere lo stesso limite per x → 0 cioè

 $ 2k = k+1 \; ⇒ \; k = 1$

Prolungamento con continuità

$ g(x) = \begin{cases} e^x +1 &\text {se x ≤ 0} \\ x^2-3x-1 &\text{se x < 0} \end{cases} $

Grafici

https://www.desmos.com/calculator/ez2nhqadlp

https://www.desmos.com/calculator/igp6stufu3

https://www.desmos.com/calculator/8tano6e374