Asintoti con parametri.

$ y(x) = \frac{ax^4+bx^2+1}{x^3-1} = \frac{ax^4+bx^2+1}{(x-1)(x^2+x+1)} $

• y(x) ammette come asintoto obliquo la retta $r: y = \frac{1}{2}x + 0$. Quindi 
  • m = 1/2
  • q = 0

Imponiamo tali vincoli

i)  m = 1/2

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x}$

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{ax^4+bx^2+1}{x(x^3-1)} = a$

Ne consegue che $a = \frac{1}{2}$ 

La funzione si riduce alla forma

$ \frac{x^4+2bx^2+2}{2(x-1)(x^2+x+1)} $

ii) q = 0

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) - \frac{x}{2} $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2bx^2+x+2}{2(x-1)(x^2+x+1)} $

Se vogliamo che non ci siano asintoti verticale è necessario che il numeratore sia divisibile per (x-1). In questo caso si procede con la semplificazione privando il denominatore di zeri.

Imponiamo che il numeratore sia divisubile per (x-1). Dividiamo

2bx^2  +  x  + 2 |__x-1__

2bx^2 -2bx         2bx - 2

__________

// (1+2b)x + 2

      -2 x    + 2

    ___________

    //   +   //

quindi per essere divisibile per (x-1) la differenza tra i due coefficienti della x deve essere nullo.

1+2b-(-2) = 0  ⇒   b = -3 /2

Verifica grafica

O.K.