Asintoti

y = √(x^2 + 1) - 4·x

funzione definita su tutto R

Condizioni agli estremi del C.E.

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x) = +∞

x---> -∞

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x) = -∞

x---> +∞

Questi due limiti forniscono C.N. per l'esistenza di asintoti obliqui : 

y = m·x + q

Determiniamo 

m

LIM((√(x^2 + 1) - 4·x)/x) = -5

x----> -∞

LIM((√(x^2 + 1) - 4·x)/x) = -3

x----> +∞

Determiniamo 

q

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x + 5·x) =0

x---> -∞

LIM(√(x^2 + 1) - 4·x + 3·x) =0

x---> +∞

Quindi abbiamo:

y=-5x: asintoto obliquo sinistro

y=-3x: asintoto obliquo destro

$ y(x) = \sqrt{x^2+1} - 4x $

• Dominio = ℝ

Nessun punto di discontinuità, nessun asintoto verticale.

Comportamento all'infinito.

Verifichiamo la presenza di un asintoto obliquo. Nel caso in cui m fosse eguale a 0 ci troveremo di fronte ad un asintoto orizzontale.

1. a sinistra

$ m_s = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{ y(x)}{x}  =  -1 -4 = -5$

$ q_s = \displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x)+ x = 0 $

Un asintoto obliquo a sinistra di equazione y = -5x

2. a destra

$ m_d = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{ y(x)}{x}  =  1 -4 = -3$

$ q_d = \displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) - x = 0 $

Un asintoto obliquo a sinistra di equazione y = -3x