Asintoti

$ y(x) = \frac{2x^4+1}{x^3-x} = \frac{2x^4+1}{x(x^2-1)}$

• Dominio = ℝ\{-1,0,1}

Tre punti di discontinuità.

1. 

$\displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = +\infty $

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = -1

2. 

$\displaystyle\lim_{x \to 0^-} f(x) = +\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty $

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 0

3. 

$\displaystyle\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty $

Ci troviamo in presenza di un asintoto verticale di equazione x = 1

Determiniamo il comportamento della funzione all'infinito

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty} y(x) = -\infty $

$\displaystyle\lim_{x \to +\infty} y(x) = +\infty$

Non ci sono asintoti orizzontali.

Osserviamo che il numeratore è un polinomio di grado 4 mentre il numeratore è sempre un polinomio ma di grado 3. Potrebbe essere presente un asintoto obliquo. Calcoliamo i parametri m e q.

$ m = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{y(x)}{x} = 2 $

$ q = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} y(x) -2x = \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2-1}{x^3-x} = 0 $

L'asintoto obliquo è la retta y = 2x