Asintoti

y = (6 - a·x^2)/(2·x^2 - x + b)

- a/2 = 2   (y=2 asintoto orizzontale)

a = -4

y = (6 + 4·x^2)/(2·x^2 - x + b)

deve passare da [0, -2]

-2 = (6 + 4·0^2)/(2·0^2 - 0 + b)

-2 = 6/b---> b = -3

y = (6 + 4·x^2)/(2·x^2 - x - 3)

Per gli asintoti verticali si deve annullare il denominatore

2·x^2 - x - 3 = (x + 1)·(2·x - 3)

(x + 1)·(2·x - 3) = 0

Quindi: x = 3/2 ∨ x = -1

$ f(x) = \frac{6-ax^2}{2x^2-x+b} $

a. Determinare i valori da assegnare ad a e a b.

• Passa per A(0, -2) ovvero

$f(0) = -2$

$ -\frac{6}{b} = -2 \; ⇒ \; b = -3 $ 

• Asintoto orizzontale di equazione y = 2

$ \displaystyle\lim_{x \to \pm \infty} -\frac{a}{2} = 2 \; ⇒ \; a = -4 $

La nostra funzione è definita da

$f(x) = \frac{4x^2+6}{2x^2-x-3} = \frac{4x^2+6}{(x+1)(2x-3)} $

• Dominio = ℝ\{-1, 3/2}
  • Due punti di discontinuità. x = -1; x = 3/2

Dimostriamo che sono asintoti verticali

• x = -1
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to -1^+} f(x) = -\infty $
  • Si, è proprio un asintoto verticale.

• x = 3/2
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3}{2})^-} f(x) = -\infty $
  • $ \displaystyle\lim_{x \to (\frac{3}{2})^+} f(x) = +\infty $
  • Si, è proprio un asintoto verticale.