[Risolto] Aree e volumi con gli integrali.

Grafico

https://www.desmos.com/calculator/2fmcp6ohet

a.

Non è un integrale di Riemann essendo la funzione non limitata. Applichiamo la definizione di integrale indefinito

$ A = \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx  $

$ A = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \int_ε^1 \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx  $

$ A = \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \left. 2\sqrt{x} \right|_ε^1 $

$ A =  \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} 2-2\sqrt{ε} = 2 $

b.

Applichiamo la formula del volume del solido di rotazione attorno all'asse x

$ V = \pi \int_0^1 |f(x)|^2 \, dx $

$ V = \pi \int_0^1 \frac{1}{x} \, dx $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \int_ε^1 \frac{1}{x} \, dx  $

 
$ V = \pi \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} \left. ln(x) \right|_ε^1 $

$ V = \pi \displaystyle\lim_{ε \to 0^+} 0 - ln(ε) = +\infty $

A = Area : data dall'integrale improprio di

1/√x valutato da x=0 ad x=1

∫(1/√x) dx = 2·√x

A=2

V= volume di rotazione: dato dall'integrale improprio di

pi·(1/√x)^2 valutato da x=0 ad x=1

∫(pi·(1/√x)^2) dx= pi·LN(x)

V= +∞