[Risolto] Aree e integrali

Trovare le coordinate dei punti A, B e C:

L'equazione della parabola è y = -x^2 + 4x.
Il vertice si trova al punto di massimo/minimo della parabola che si verifica quando la derivata prima è uguale a zero.

Calcolo derivata prima:

y' = -2x + 4

Poniamo la derivata prima uguale a zero: 

y' = 0    -->   -2x + 4 =0   --> x = 2

Sostituiamo il valore  x = 2, nell'equazione della parabola otteniamo l'ordinata del vertice:

f(2) = -(2)^2 + 4*2 = 4

Le coordinare del vertice A sono: A(2;4)

Calcoliamo i punti di intersezione con l'ordinata y = -5.

Sostituiamo y = -5 nell'equazione della parabola, otteniamo:

x^2 - 4x - 5 = 0

Risolvendo l'equazione di secondo grado, otteniamo due soluzioni che sono:

x = 5  e x = -1

Di conseguenza le coordinate dei punti sono: B(5; -5)  e C(-1; -5)

In conclusione le coordinate dei vertici del triangolo sono:

A(2;4) , B(5; -5)  e C(-1; -5)

Calcolo dell'area del triangolo ABC:

Possiamo utilizzare la formula del calcolo del determinante conoscendo le coordinate dei suoi vertici:

Calcolo dell'area della regione compresa fra parabola e triangolo:

Calcoliamo area sottesa della parabola (Ap):

l'area della regione compresa fra parabola e triangolo è data dalla differenza dall'area sottesa della parabola (Ap) e l'area del triangolo ABC:

A = Ap - At = 36 - 27 = 9