Area totale e volume

=========================================================

Trapezio isoscele

Base maggiore $\small B= B_x+C_x = |-5|+10 = 5+10 = 15\,cm;$

altezza $\small h= A_y+B_y = 3+|-1| = 3+1 = 4\,cm;$

proiezione del lato obliquo $\small pl= B_x-A_x = |-5|-|-2| = 5-2 = 3\,cm;$

per cui:

base minore $\small B-2×pl = 15-2×3 = 15-6 = 9\,cm;$

coordinate del punto D:

$\small x= C_x-3 = 10-3 = 7;$

$\small y= A_y = 3;$

quindi il punto D è: $\small D(7; 3);$ 

lato obliquo $\small l= \sqrt{h^2+pl^2} = \sqrt{4^2+3^2} = 5\,cm$ (teorema di Pitagora);

a) perimetro $\small 2p= B+b+2×pl = 15+9+2×5 = 24+10 = 34\,cm;$

area $\small A= \dfrac{(B+b)×h}{2} = \dfrac{(15+9)×\cancel4^2}{\cancel2_1} = 24×2 = 48\,cm^2.$

Solido generato dalla rotazione dal trapezio intorno alla base maggiore

Il solido è formato da un cilindro e due coni alle estremità con le basi combacianti, quindi:

raggio delle basi = altezza del trapezio $\small r= 4\,cm;$

altezza del cilindro = base minore del trapezio $\small h_{cilindro}= 9\,cm;$

altezza di ciascun cono = proiezione del lato obliquo del trapezio $\small h_{cono}= 3\,cm;$

apotema del cono = lato obliquo del trapezio $\small a= 5\,cm;$

circonferenza di base del cilindro e dei coni $\small c= r×2\pi = 4×2\pi = 8\pi\,cm;$

area di base del cilindro e dei coni $\small Ab= r^2×\pi = 4^2×\pi = 16\pi\,cm^2;$

area laterale del cilindro $\small Al_{cilindro} = c×h_{cilindro} = 8\pi×9 = 72\pi\,cm^2;$

area laterale di ciascun cono $\small Al_{cono} = \dfrac{c×a}{2} = \dfrac{\cancel8^4\pi×5}{\cancel2_1} = 4\pi×5= 20\pi\,cm^2;$

b) area totale del solido $\small At_{solido}= Al_{cilindro} +2×Al_{cono} = (72+2×20)\pi = 112\pi\,cm^2;$

volume del solido:

$\small V_{solido}= V_{cilindro}+2×V_{cono}$

$\small V_{solido}= Ab×h_{cilindro}+2×\dfrac{Ab×h_{cono}}{3}$

$\small V_{solido}= 16\pi×9+2×\dfrac{16\pi×\cancel3}{\cancel3}$

$\small V_{solido}= 144\pi+2×16\pi$

$\small V_{solido}=(144+2×16)\pi = 176\pi\,cm^3.$

trapezio 

coordinate del punto d ; (7 , 3)

BH = CK = 3

AH = DK = 4 

AB = CD = √3^2+4^2 = 5 cm

BC = (10-(-5)) = 15 cm

AD = BC-2BH = 15-6 = 9 cm 

perimetro 2p = (15+9+2*5) = 34 cm 

area A = (15+9)*4/2 = 48 cm 

solido

area A' = 8π(9+5) = 112π cm^2

volume V = π*4^2(9+6/3) = 176π cm^3