[Risolto] Area quadrilatero note le coordinate dei suoi vertici

@Beppe

Ciao Beppe,

IL QUADRILATERO è un TRAPEZIO RETTANGOLO. I lati AB e DC sono paralleli (basi del trapezio). Il lato BC è perpendicolare alle due basi.

Se calcoli i coefficienti angolari delle rette contenenti i lati :

m_AB = m_DC = 3/4

m_BC = - 4/3

La base minore AB e l'altezza BC sono congruenti e misurano 5 (terna pitagorica 3,4,5)

La base maggiore:

CD= radice ((28/3)² + 49) = 35/3

L'area è quindi:

A= ((35/3 + 5)*5) /2  = 125/3

coordinate 1(-1;0) 2(3;3) 3(0;7) 4(-28/3;0).

formula di Gauss per il calcolo dell'area https://it.wikipedia.org/wiki/Formula_del l'area_di_Gauss :

A = 1/2(x1y2+x2y3+x3y4+x4y1-x2y1-x3y2-x4y3-x1y4)

A = 1/2*(-1*3+3*7+0+0-0-0+28/3*7+0) =41+2/3 = (123+2)/3 = 125/3

Il quadrilatero di vertici
* A(- 1, 0), B(3, 3), C(0, 7), D(- 28/3, 0)
provando a disegnarlo m'ha dato tutta l'aria d'essere un trapezio rettangolo, ma ovviamente è solo un'impressione da verificare eaminandone i lati.
---------------
Lati
* AB: lungo a = 5; sulla y = (3*x + 3)/4, di pendenza m1 = 3/4.
* BC: lungo b = 5; sulla y = 7 - 4*x/3, di pendenza m2 = - 4/3.
* CD: lungo c = 35/3; sulla y = (3*x + 7)/4, di pendenza m3 = 3/4.
* DA: lungo d = 25/3; sulla y = 0, di pendenza m4 = 0.
Si vede che:
* i lati opposti AB e CD sono paralleli e distinti in quanto le loro rette hanno egual pendenza (m1 = m3), ma diverse intercette: quindi ABCD è trapezio;
* il lato BC, di pendenza antinversa (m2 = - 1/m3), gli è ortogonale: quindi ABCD è trapezio rettangolo di altezza h = b = 5.
---------------
L'area S richiesta è, come per ogni trapezio, il prodotto fra l'altezza e la media delle basi
* S = b*(a + c)/2 = 5*(5 + 35/3)/2 = 125/3
che è proprio il risultato atteso.