Area parti del cerchio

Fai riferimento ad 1/4 del quadrato dato come in figura e calcola l'area di un petalo nel seguente modo:

Sottrai all'area di questo quadrato le due aree congruenti "bianche".

Moltiplicando poi per 4 questo risultato ottieni l'area colorata dei 4 petali.

Area di un petalo = A1 in figura sotto;

Area superficie colorata = Area dei quattro petali  = 4 * A1;

Area quadratino AMON = 30^2 = 900 mm^2;

Dall'area del quadratino AMON dobbiamo sottrarre le due aree A2 e A3, sopra e sotto il petalo;

l' area settore circolare AMO, dentro il quadratino è 1/4 di cerchio di raggio 30 mm:

Area settore AMO = 3,14 * 30^2 / 4 = 706,5 mm^2;

Area A2 = 900 - 706,5 = 193,5 mm^2;

Area A3 + A2 = 193,5 * 2 = 387 mm^2;

Area Petalo A1:

A1 = 900 - 387 = 513 mm^2;

Area dei quattro petali = 4 A1;

Area  parte colorata = 4 * 513 = 2052 mm^2.

Ciao  @maiscia81

se si sottrae all'area del quadrato quella del cerchio inscritto, si trova la quantità ΔA pari a 2 dei 4 spicchi non colorati ; poiché di quegli spicchi ce ne sono 4, allora basta sottrarre all'area del quadrato 2 volte ΔA per ottenere l'area colorata verde !!!

ΔA =  (60^2*(1-3,14159/4)) = 772,5690 mm^2

area petali Ap = 60^2-2*ΔA = 3600-772,5690*2 = 2.054,86200 mm^2

volendo sintetizzare la soluzione in una sola formula:

Ap = 60^2*(1-2*(1-3,14159/4)) = 2.054,86200 mm^2

Posto AB = a

considerati il semicerchio di diametro AB che ha come area

1/2 pi (AB/2)^2 = pi/8 a^2

e il triangolo isoscele OAB che ha per area

1/2 * a * a/2 = a^2/4

la loro differenza sono due mezzi petali

allora S/4 = a^2 (pi/8 - 1/4) = a^2/8 (pi - 2)

pertanto S = a^2/2 * (pi - 2) = 60^2/2 * (pi - 2) cm^2 = 2054.90 cm^2

Se pi ~ 3.14

S = 2052 cm^2

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Ogni petalo rappresenta un fuso circolare con raggio $\small r= \dfrac{L}{2}=\dfrac{60}{2} = 30\,mm;$

il raggio corrisponde al lato di ciascuno dei 4 quadratini cioè $\small l= 30\,mm;$

area del fuso circolare:

$\small A_{fuso}= \dfrac{l^2·\pi}{2}-l^2$

$\small A_{fuso}= \dfrac{30^2·\pi}{2}-30^2$

$\small A_{fuso}= \cancel{900}^{450}\dfrac{\pi}{\cancel2_1}-900$

$\small A_{fuso}= 450\pi-900 \approx{513,7167}\,mm^2$

per cui:

area totale dei 4 petali:

$\small A_{tot}= 4×A_{fuso}= 4×513,7167 \approx{2054,87}\,mm^2.$

In pratica, visto che il rapporto tra le aree di un quadratino con un fuso è lo stesso del quadrato grande con la somma dei quattro fusi, puoi anche calcolare direttamente come segue:

area totale dei 4 petali:

$\small A_{tot}= \dfrac{60^2·\pi}{2}-60^2$

$\small A_{tot}= \dfrac{\cancel{3600}^{1800}·\pi}{\cancel2_1}-3600$

$\small A_{tot}= 1800\pi-3600\approx{2054,87}\,mm^2.$