Data la parabola di equazione $y=k x^2+\left(4 k+\frac{1}{2}\right) x+2$, verifica che per ogni valore reale di $k$ essa passa per i due punti $A(-4,0)$ e $B(0,2)$. Determina quindi i valori di $k$ per cui la parabola individua con la retta $A B$ un segmento parabolico di area $\frac{64}{3}$.
$$
[k= \pm 2]
$$
Spiegare il ragionamento dei passaggi e argomentare.
11881
punti
Livello 2
{y = k·x^2 + (4·k + 1/2)·x + 2
{y = 0
Risolvo: [x = -4 ∧ y = 0, x = - 1/(2·k) ∧ y = 0]
A [-4,0]
{y = k·x^2 + (4·k + 1/2)·x + 2
{x = 0
Risolvo: [x = 0 ∧ y = 2]
B [0,2]
Per k ≠ 0 il fascio di parabole assegnato passa sempre per i due punti A e B che costituiscono pertanto i punti base del fascio.
La retta passante per A e B in forma segmentaria è data da:
x/(-4) + y/2 = 1
mentre in forma esplicita: y = x/2 + 2
Quindi deve essere:
Area = 1/6·ABS(k)·(0 - (-4))^3---->32·ABS(k)/3= 64/3
da cui: ABS(k) = 2----> k = -2 ∨ k = 2
Da cui le parabole:
y = (-2)·x^2 + (4·(-2) + 1/2)·x + 2
y = - 2·x^2 - 15·x/2 + 2
y = 2·x^2 + (4·2 + 1/2)·x + 2
y = 2·x^2 + 17·x/2 + 2
115491
punti
Genius III
