Area del triangolo

L'altezza relativa al lato AB si trova tracciando la perpendicolare dal vertice C al segmento AB. 

Il piede della perpendicolare essendo un punto del segmento AB avrà ordinata pari a 2 e ascissa pari all'ascissa del vertice C. 

Il piede P avrà coordinate (4,2).

Quindi h=Yc - Yp = 7-2= 5cm (avendo I punti C e P  stessa ascissa) 

La base B=XB-XA = 9-1 = 8cm (avendo I punti B e A stessa ordinata)

L'area risulta essere

A=(8*5)/2 = 20 cm²

IL TESTO DELL'ESERCIZIO E' IN DOPPIO ERRORE: l'Autore è un tennista!
Ha un errore di logica nel testo: dà le coordinate A(1, 2), B(9, 2), C(4, 7) come numeri puri e poi chiede la misura dell'altezza CH "esprimendola in centimetri": ORRORE! Ma se non conosce il detto "cunigghi cu cunigghi, addrine cu addrine" dovrebbe almeno conoscere "mele con mele, pere con pere", e che diamine.
Boh, questi autori moderni!
Il secondo errore, di quotare in cm^2 il risultato atteso, fa quasi tenerezza (se non facesse rabbia constatare che c'è gente che s'arricchisce insegnando ai miei nipoti a commettere errori di pensiero senza che nessuno protesti).
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L'area del triangolo che ha i vertici
* A ≡ P1(x1, y1), B ≡ P2(x2, y2), C ≡ P3(x3, y3)
è metà del valore assoluto di una semplice espressione delle coordinate (v. http://it.wikipedia.org/wiki/Triangolo#Formule_analitiche )
* S(ABC) = (1/2)*|x1*(y2 - y3) - x2*(y1 - y3) + x3*(y1 - y2)|
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Con
* A(1, 2), B(9, 2), C(4, 7)
si ha
* S(ABC) = 20 (NB: non cm^2, ma unità quadre del piano Oxy)
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L'altezza relativa al lato AB (che giace sulla y = 2) giace sulla retta coordinata dell'ascissa del vertice opposto (x = 4), ha il piede H(4, 2) con l'ascissa di C e l'ordinata di AB ed è lunga L, la differenza delle ordinate
* L = 7 - 2 = 5 (NB: non cm, ma unità del piano Oxy)