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[Risolto] Applicazioni geometriche, integrali

  

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Verifica che l'area della regione di piano limitata dall'asse $x$, dal grafico della funzione $y=(x-1) e^x$ e dalle rette parallele all'asse $y$ passanti rispettivamente per il punto di flesso e per il punto di minimo della funzione è maggiore dell'area della regione, contenuta nel quarto quadrante, limitata dal grafico della funzione e dagli assi cartesiani.
[La prima area è uguale a $2-3 e^{-1}$; la seconda è uguale a $e-2$; si verifica che $\left.2-3 e^{-1}>e-2\right]$

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Spiegare gentilmente i passaggi e il ragionamento.

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y = (x - 1)·e^x

y'= x·e^x

y''=e^x·(x + 1)

Ascissa del punto di flesso:

e^x·(x + 1) = 0----> x = -1

Coordinate del punto di flesso:

y = (-1 - 1)·e^(-1)----> y = - 2·e^(-1)

[-1, - 2·e^(-1)]

Ascissa del punto di minimo:

x·e^x = 0----> x = 0

Valutiamo per l'area l'opposto degli integrali:

∫((x - 1)·e^x) dx = e^x·(x - 2)

Quindi valutato da x = 0 ad x = -1

e^(-1)·(-1 - 2) = - 3·e^(-1)

e^0·(0 - 2) = -2

- 3·e^(-1) - (-2) = 2 - 3·e^(-1) = area gialla

image

Calcoliamo area verde.

{y = (x - 1)·e^x

{y = 0

risolvo:  [x = 1 ∧ y = 0]

[1, 0]

e^x·(x - 2)

da x=1 ad x = 0

e^0·(0 - 2) = -2

e^1·(1 - 2) = -e

-2 - (-e) = e - 2 = area verde

Risulta:

2 - 3·e^(-1) > e - 2

(0.8963616764 > 0.7182818284 )



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SOS Matematica

4.6
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