Applicazioni esercizio

Problema:

Siano definite le seguenti applicazioni come segue:

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z}$, $x \mapsto -x-5$;

$g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $x \mapsto 5x^2+4$;

$h: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, $x \mapsto 1$.

Stabilire se $f,g,h, g \circ f, f \circ h, h \circ g$ sono iniettive e/o suriettive e/o biiettive.

Soluzione:

Controlla che non ci sono errori nella definizione delle mappe perché scrivendo in LaTeX possono esserci vari refusi.

$f$ è iniettiva dato che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio, infatti associa $x$ al suo opposto sottratto di $5$ (va dimostrato rigorosamente, puoi farlo per assurdo in un sistema che ammette il principio del tertium non datur). La mappa non è suriettiva perché non copre tutto $\mathbb{Z}$, infatti copre solamente i valori $n≤-5$. Non è biunivoca.

$g$ la mappa non è iniettiva perché due elementi distinti del dominio vengono mandati in uno stesso elemento del codominio (es: $x=±2$). La mappa non è suriettiva perché copre tutti i valori $n≥4$ e non tutto l'insieme dei naturali. Non è biunivoca.

$h$ la mappa non è iniettiva perché manda tutti gli elementi in $1$, inoltre non è suriettiva perché non copre tutto $\mathbb{N}$. Non è biunivoca. 

$g \circ f: \mathbb{N} \to \mathbb{Z} \to \mathbb{N}$, $x \mapsto 5(-x-5)²+4$. La mappa è iniettiva perché per $x, y \in \mathbb{N} \mid x \neq y$ si ottengono valori distinti. Non è suriettiva perché $5t^2+4, t ≤-5$ intero non copre tutto l'insieme dei naturali. Non è biunivoca.

$f \circ h: \mathbb{N} \to \mathbb{ N} \to \mathbb{Z}$, $x \mapsto -1-5=-6$. Non è iniettiva perché manda tutto in $-6$ e non è suriettiva perché non copre tutto $\mathbb{Z}$. Non è biunivoca. 

$h \circ g: \mathbb{Z} \to \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, $x \mapsto 1$. Non è iniettiva perché manda tutto in $1$ e non è suriettiva perché non copre tutto $\mathbb{N}$. Non è biunivoca.