Dalla porta A di una casa di campagna si vedono su una strada rettilinea tre alberi consecutivi, dei quali si sa che si susseguono di 20 in 20 metri. La distanza dei primi due si vede, ad altezza d’uomo, sotto un angolo di 30°, la distanza dal secondo al terzo, sotto un angolo di 15°. Quanto dista A dalla strada ?
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Livello 0
La distanza è il segmento $A H$. Indichiamo con $\alpha$ l'angolo, non noto, HAB. Gli altri angoli initerni dei triangoli HAB, BAC, CAD sono indicati in figura. Applichiamo il teorema dei seni ai triangoli BAC e CAD in modo da coinvolgere sempre il lato comune AC:
$$
\begin{array}{l}
\frac{D}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\overline{A C}}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)} \\
\frac{D}{\sin 15^{\circ}}=\frac{\overline{A C}}{\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)}
\end{array}
$$
Eliminiamo AC uguagliando le due relazioni in modo da ricavare l'angolo a:
$$
\begin{array}{c}
\frac{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)}{\sin 30^{\circ}}=\frac{\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right)}{\sin 15^{\circ}} \Rightarrow \frac{\cos \alpha}{1 / 2}=\frac{\cos \alpha-\sin \alpha}{\sqrt{2} \sin 15^{\circ}} \Rightarrow \\
\Rightarrow\left(1-2 \sqrt{2} \sin 15^{\circ}\right) \cos \alpha=\sin \alpha \Rightarrow \tan \alpha=1-2 \sqrt{2} \sin 15^{\circ} \Rightarrow \\
\Rightarrow \alpha=\arctan \left(1-2 \sqrt{2} \sin 15^{\circ}\right)=15^{\circ}
\end{array}
$$
Ora troviamo AC:
$$
\overline{A C}=D \cdot \frac{\cos \alpha}{\sin 30^{\circ}}=20 \cdot \frac{\cos 15^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} \approx 38.64 m
$$
Infine, noti $A C$ e $\alpha$, troviamo la distanza $A H$ :
$\overline{A H}=\overline{A C} \cdot \cos \left(30^{\circ}+\alpha\right)=38.64 \cdot \cos \left(30^{\circ}+15^{\circ}\right) \approx 27.32 m$
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Livello 1
