Angolo formato da curve, derivate

• Punti di intersezione tra le due curve. Si tratta di risolvere il sistema

$ \begin{cases} y = \sqrt{x} \\ y = \frac{x}{x+1} \end{cases} $

Per confronto

$ \sqrt{x} = \frac{x}{x+1} $

Due casi:

1. Per x = 0  l'equazione è verificata, quindi è una soluzione
2. S x ≠ 0 posso semplificare ottenendo l'equazione x - √x + 1 = 0, che non ammette soluzioni. nota il discriminante è negativo Δ = -3.

Tramite le rette tangenti determiniamo l'angolo della stessa nel punto x = 0, 

i)

$ y(x) = \sqrt{x} \; ⇒ \; y'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \; ⇒ \; y'(0) = +\infty$

La tangente dell'angolo di intersezione della retta tangente alla curva in x = 0 è +∞, quindi l'angolo θ in questo caso vale

• • • $θ = \frac{\pi}{2} $ 

 ii) 

$ y(x) = \frac{x}{x+1} \; ⇒ \; y'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \; ⇒ \; y'(0) = 1$

La tangente dell'angolo di intersezione della retta tangente alla curva in x = 0 è 1, quindi l'angolo Φ in questo caso vale

• • • $Φ = \frac{\pi}{4} $

La differenza tra i due angoli vale

• $θ - Φ = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$