Angoli

Ciascuna diagonale divide il quadrato in due triangoli isosceli. Da ciò, segue che gli angoli alla base, di ciascuno triangolo, sono congruenti. Se indichiamo uno di questi angoli con $\phi$ e con $\theta$ l'angolo non congruente con i precedenti allora avremo che:

$\theta + 2\phi = \pi$

Dal momento che il triangolo è anche rettangolo, ne segue che $\theta$ misura $\dfrac{\pi}{2}$. Pertanto,

$\dfrac{\pi}{2} + 2\phi =\pi\Rightarrow 2\phi =\dfrac{\pi}{2}$

da cui

$\phi =\dfrac{\pi}{4}$

Considerato anche che i quattro triangoli formati dalla diagonale del quadrato e due dei suoi lati sono congruenti ( hanno congruenti due lati e l'angolo tra essi compreso ), allora anche gli angoli che le diagonali formano con i lati lo sono.

Quanto misurano gli angoli che le diagonali di un quadrato formano con i lati? 

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La diagonale di un quadrato è la bisettrice $\big(\dfrac{γ}{2}\big)$ di un suo angolo interno $(γ= 90°)$, quindi:

angolo formato dalla diagonale con il lato $α= \dfrac{γ}{2} = \dfrac{90}{2} = 45°$;

oppure:

$\dfrac{π}{4}·rad = \dfrac{π}{4}×\dfrac{180°}{π} = \dfrac{180}{4} = 45°$.

Ogni diagonale è la bisettrice dei due angoli da cui si diparte e termina, per cui 90/2 = 45° e le due diagonali generano 8 angoli di 45° tal che la loro somma fa (come deve essere) 360°