Analizziamo il problema che non ho risolto nella verifica

Problema:

Considera il fascio di rette di equazione $(2+k)x+(1-k)y-3(k+1)=0$.

Determina per quali valori di $k$ si ha una retta:

1. Parallela agli assi cartesiani;

2. Perpendicolare all'asse del segmento di estremi $A(-1,1)$ e $B(0,4)$.

Soluzione:

Rivedi i conti.

1. Gli assi cartesiani hanno equazione $y=0$ (asse delle ascisse) e $x=0$ (asse delle ordinate). Da queste equazioni si può notare che questi dipendono da una sola variabile, quindi il parametro davanti alla $x$ o davanti alla $y$ deve essere nullo. 

La retta del fascio parallela all'asse delle ascisse è definita da $(2+k)=0 \to k=-2 \to r: 3y+3=0$.

La retta del fascio parallela all'asse delle ordinate è definita da $(1-k)=0 \to k=1 \to 3x-6=0$.

2.  Per risolvere questo punto è necessario comprendere cosa significa essere perpendicolari all'asse di un segmento. Avere una retta perpendicolare rispetto a un'altra retta significa che l'angolo tra le due rette è di 90 gradi, matematicamente ciò si definisce tramite l'antireciproco del coefficiente angolare: una retta $y=kx+q$ è perpendicolare a una retta $y=mx+q$ se $k=-\frac{1}{m}$.

Con asse del segmento si intende invece una retta perpendicolare a quella che congiunge gli estremi del segmento e passante per il punto medio di tale segmento. Per individuare tale asse è prima necessario individuare la retta che congiunge gli estremi e il punto medio tra essi. La retta può essere trovata tramite $y-y_0=m(x-x_0)$ ove $m=\frac{∆y}{∆x}$. Si ottiene quindi che il segmento è rappresentato da $y-4=3x$. 

Il punto medio si trova tramite $x_M=(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})=(\frac{-1}{2}, \frac{5}{2})$.

Il coefficiente angolare della retta perpendicolare al segmento è, per quanto detto in precedenza, $m=\frac{-1}{3}$. Utilizzando la solita relazione $y-y_0=m(x-x_0)$ considerando il punto medio dell'asse, si ottiene: $y-\frac{5}{2}=-\frac{1}{3}(x+\frac{1}{2})$. 

Il quesito richiede di individuare una retta perpendicolare a quest'ultima trovata. Per farlo è necessario esplicitare quella data:

$(2+k)x+(1-k)y-3(k+1)=0$

$(2+k)x+(1-k)y+3(-1-k)=0$.

$(1-k)y=-(2+k)x+3(k+1)$

$y=-\frac{2+k}{1-k} x +...$, ove $k \neq 1$.

Per essere perpendicolare all'asse del segmento deve valere che $-\frac{2+k}{1-k}=3 \to k=\frac{5}{2}$.

Sostituendo si ottiene:

$r: 9x-3y+21=0 \to 3x-y+7=0$.

https://www.desmos.com/calculator/qjmzu2qb2t

Dato che volevi un'analisi del quesito ti dico che questo è un tipico quesito di difficoltà medio-bassa che si incontra nei manuali indicato con due tacche su tre (ovviamente questo livello è dato considerando una classe ideale di un secondo/terzo anno di liceo scientifico dato che ogni classe ha la sua storia e le sue difficoltà; le verifiche sono tarate in base alla classe dai docenti solitamente). La difficoltà in questo caso è data principalmente dal secondo punto perché presuppone la conoscenza della nozione di asse di un segmento in condizioni di perpendicolarità con un'altra retta e la relazione di perpendicolarità tra due rette tramite i coefficienti angolari. Ho assegnato questo livello però perché non necessita di alcuno sforzo immaginativo-geometrico per essere risolto, ma fa leva su dirette conseguenze delle definizioni: operazioni che dovrebbero essere naturali a un ipotetico esame di stato. Consiglio quindi di studiarsi bene esercizi simili dato che il concetto di retta apparirà molto di frequente anche in relazione alle coniche e al calcolo differenziale.