[Risolto] Analisi2, campi vettoriali

Prima parte - impostazione

 

Ragioniamo sul dominio V

 

6 - 3 sqrt(x^2 + y^2) < z < 4 - (x^2 + y^2)

significa

6 - 3r < z < 4 - r^2    con r > 0

per proprietà transitiva

6 - 3r < 4 - r^2

r^2 - 3r + 2 < 0

1 < r < 2

mentre teta, in coordinate cilindriche ordinarie,  va come al solito da 0 a 2pi

 

div F = dFx/dx + dFy/dy + dFz/dz = 0 + 0 + 1 * ln(x^2 + y^2) = ln r^2 = 2 ln r

per cui col passaggio a coordinate cilindriche ti trovi

 

S_[0, 2pi] S_[6-3r, 4 - r^2] S_[1,2] 2 ln r * r dr d teta dz =

 

= S_[0, 2pi] 2 d teta * S_[1,2] ( S_[6-3r, 4 - r^2] dz ) r ln r dr =

= 4 pi S_[1,2] (4 - r^2 - 6 + 3r ) r ln r dr =

= 4 pi S_[1,2] (-r^2 + 3r^2 - 2r ) ln r dr

 

e questo si fa per parti scegliendo f(r) = ln r e come g'(r) il polinomio in parentesi.

 

Seconda parte - risoluzione

 

Integrando per parti come suggerito trovi successivamente

 

4pi [ (-r^4/4 + r^3 - r^2 ) ln r - S 1/r * (-r^4/4 + r^3 - r^2 ) dr ]_[1,2] =

= 4pi [ (-16/4 + 8 - 4) ln 2 - 0 + S (r^3/4 - r^2 + r ) dr ]_[1,2] =

= 4pi [ 0 + (r^4/16 - r^3/3 + r^2/2) ]_[1,2] =

= 4pi [ (16/16 - 8/3 + 4/2) - (1/16 - 1/3 + 1/2) ] =

= 4pi [ 3 - 8/3 - (3-16+24)/48 ] =

= 4pi [ 1/3 - 11/48 ] =

= 4pi (16-11)/48 =

= 5 pi/12

 

 

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