[Risolto] Analisi matematica n 78

Per scrivere rette tangenti serve la derivata prima.
Per identificare i flessi servono gli zeri della derivata seconda.
Quindi
* f(x) = y = √(x/(4 - x))
* f'(x) = dy/dx = m(x) = 2/(((4 - x)^2)*√(x/(4 - x)))
* f''(x) = dm/dx = 4*(x - 1)/(((4 - x)^4)*√((x/(4 - x))^3))
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Ascisse di flesso
* f''(x) = 4*(x - 1)/(((4 - x)^4)*√((x/(4 - x))^3)) = 0 ≡ x = 1
* f(1) = y = √(1/(4 - 1)) = 1/√3
* m(1) = 2/(((4 - 1)^2)*√(1/(4 - 1))) = m = 2/(3*√3)
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Tangente in F(1, 1/√3)
* t ≡ y = 1/√3 + (2/(3*√3))*(x - 1) ≡ y = (√3/9)*(2*x + 1)
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Intersezioni
* (y = 0) & (y = (√3/9)*(2*x + 1)) ≡ (- 1/2, 0)
* (y = 0) & (y = √(x/(4 - x))) ≡ (0, 0)
* (y = √(x/(4 - x))) & (y = (√3/9)*(2*x + 1)) ≡ (1, 1/√3)
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Grafici
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y%3D0%2Cy%3D%28%E2%88%9A3%2F9%29*%282*x--1%29%2Cy%3D%E2%88%9A%28x%2F%284-x%29%29%5D
http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx*y*%28x-1%29%3D0%2Cy%3D%28%E2%88%9A3%2F9%29*%282*x--1%29%2Cy%3D%E2%88%9A%28x%2F%284-x%29%29%5Dx%3D-1to3%2F2%2Cy%3D-1%2F5+to+1
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L'area S richiesta è la differenza fra quella T del triangolo di vertici
* (- 1/2, 0), (1, 0), (1, 1/√3)
e quella I(f, 0, 1) dell'integrale da zero a uno della f(x)
* S = T - I(f, 0, 1) =
= ((1 - (- 1/2))*1/√3)/2 - I(f, 0, 1) =
= √3/4 - I(f, 0, 1)
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* f(x) = √(x/(4 - x))
* F(x) = ∫ f(x)*dx = (x - 4)*√(x/(4 - x)) + 4*sgn(x - 4)*arccos(√x/2) + c
* I(f, a, b) = F(b) - F(a) =
= ((b - 4)*√(b/(4 - b)) + 4*sgn(b - 4)*arccos(√b/2)) - ((a - 4)*√(a/(4 - a)) + 4*sgn(a - 4)*arccos(√a/2))
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* I(f, 0, 1) = ((1 - 4)*√(1/(4 - 1)) + 4*sgn(1 - 4)*arccos(√1/2)) - ((0 - 4)*√(0/(4 - 0)) + 4*sgn(0 - 4)*arccos(√0/2)) =
= (2/3)*π - √3
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* S = T - I(f, 0, 1) = √3/4 - I(f, 0, 1) =
= √3/4 - ((2/3)*π - √3) =
= (15*√3 - 8*π)/12
che è proprio il risultato atteso.