[Risolto] Analisi matematica 1

1) Per quanto riguarda la procedura di richiesta
A norma del
http://www.sosmatematica.it/regolamento/
(che tu, palesemente, non hai ancora letto) pubblicandone uno solo per volta.
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1a) Anzitutto trascrivendolo con una qualche sintassi non immaginata all'impronto, ma che sia riconoscibile dai software di calcolo
p.es.
d) ∫ [x = 0, 1] ln(x + √(1 + x^2))*dx
http://www.wolframalpha.com/input?i=%E2%88%AB%5Bx%3D0%2C1%5Dln%28x--%E2%88%9A%281--x%5E2%29%29*dx
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1b) Poi allegandone una foto eseguita e pubblicata secondo quanto suggerito al link
http://www.sosmatematica.it/forum/postid/99968/
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2) Per quanto riguarda la procedura di calcolo
* f(x) = ln(x + √(1 + x^2)) = settsinh(x)
* F(x) = ∫ f(x)*dx = x*ln(x + √(1 + x^2)) - √(1 + x^2) + c =
= x*settsinh(x) - √(1 + x^2) + c
* I(f, a, b) = ∫ [x = a, b] f(x)*dx = F(b) - F(a) =
= √(1 + a^2) - √(1 + b^2) - (a*settsinh(a) - b*settsinh(b))
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3) Per quanto riguarda questa specifica integrazione
* F(x) = ∫ settsinh(x)*dx
con
* u = settsinh(x)
* v = x
si ha
* ∫ u*dv = u*v - ∫ v*du =
= x*settsinh(x) - ∫ x*dx/√(x^2 + 1)
poi con
* u = x^2 + 1
* du = 2*x*dx
si ha
* ∫ x*dx/√(x^2 + 1) = ∫ (du/2)/√u = √u + c

 come risolvere integrali definiti?

R: ti calcoli l'integrale indefinito e poi procedi alla differenza tra i valori che esso assume agli estremi di integrazione.

Esempio:

∫(LN(x + √(1 + x^2)))dx=x·LN(√(x^2 + 1) + x) - √(x^2 + 1)

valutato da x=0 ad x=1:

1·LN(√(1^2 + 1) + 1) - √(1^2 + 1)= LN(√2 + 1) - √2

0·LN(√(0^2 + 1) + 0) - √(0^2 + 1)= -1

quindi:

LN(√2 + 1) - √2 - (-1) = LN(√2 + 1) - √2 + 1

Svolgo solo il primo. Gli altri dovrebbero andare in post differenti

S_[-1,1] (3x^2 + 1) *arctg|x| dx + S_[-1,1] 2 rad(3) x arctg|x| dx

il secondo addendo é zero perché l'integranda é dispari e l'intervallo simmetrico

rispetto a zero. Per il primo l'integranda é pari per cuisi ha

2 S_[0,1] (3x^2 +1) arctg(x) dx che si esegue per parti

2 [x^3 + x)(arctg x) - S (x^3+x)/(x^2+1) dx ]_[0,1] =

= 2(1+1) arctg 1 - S_[0,1] x dx =

= 4 * pi/4 - 2*1/2 [x^2]_[0,1] =

= pi -1