[Risolto] Analisi 1

Ciao!

Esercizio 1

La funzione è continua $\forall n$. Analizzando la funzione, infatti, vediamo che è definita a tratti e le due funzioni che la compongono sono continue. Dobbiamo quindi garantire la continuità solo nel punto di "incollamento", cioè $ x = 0 $. Per farlo bisogna far sì che

$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x)$

ma $\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = 1$ e 
$\lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} e^{nx} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} e^0 = 1 $ $\forall n$

Esercizio 2

$| x^2- 1|$ essendo un modulo è sempre non negativo. Il valore minimo che può assumere è dunque $0$, che viene assunto se $x^2 -1 = 0$ cioè $x = \pm 1$

Non esistono valori per cui $|f(x)| \neq f(x)$ semplicemente perché $|f(x)| = ||x^2-1|| = |x^2-1|$

perché il modulo è già positivo, non ha senso farlo due volte. (non ha senso rendere positiva una cosa che è già positiva)

La funzione è continua ma il teorema di Weierstrass vale solo su un intervallo chiuso e limitato, del tipo $[a;b]$. 

$f(0) = |0^2-1| = |-1| = 1$

Esercizio 3

La funzione non è composizione di funzioni continue, perché tra le funzioni che la compongono vi è la mappa $ x \mapsto \frac{1}{x}$ che non è una mappa continua. 

Non è continua in generale, perché il suo dominio è $x \neq 0 $

In $[1; + \infty)$ è effettivamente continua e limitata. La limitatezza è garantita dal fatto che facendo $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ abbiamo come risultato $e$. (Ricorda il limite notevole!) MA non possiamo usare il teorema di Weierstrass perché esso vale soltanto in un intervallo chiuso e limitato, mentre il nostro è illimitato avendo $ + \infty$ come estremo.

la funzione essendo ivi continua e limitata ammette comunque massimo e minimo in $[1; +\infty)$, ma non grazie a questo teorema.

La funzione è continua in $1$, quindi il limite destro e sinistro coincidono per definizione di continuità.