[Risolto] Analisi 1 esercitazione

@lukegemini

Ciao.

La funzione è definita a tratti. Ci sono da sistemare i coefficienti a e b, quindi occorrono due condizioni.

Poi dobbiamo ricordare quello che dice il teorema di Rolle che è un caso particolare del teorema di Lagrange.

Il teorema di Rolle afferma che quando una funzione è continua e derivabile in un intervallo compatto (chiuso e limitato), e tale funzione assume lo stesso valore nei due estremi di tale intervallo, allora esiste almeno un punto interno all'intervallo dove il valore della derivata si annulla.

Cominciamo a vedere la prima condizione agli estremi dell'intervallo considerato:

f(0)  -------> y = a·0^2 + b·0 + 2-------> y = 2

f(6)-------->y = 16/(6 + 2)-------> y = 2

Quindi OK.

poi dobbiamo assicurare la continuità e la derivabilità della funzione data nel punto x = 2 di cucitura delle due componenti-

La seconda componente determina il valore della funzione nel punto x=2

y= 16/(2 + 2) = 4

Per la continuità bisogna ora dire che:

LIM(a·x^2 + b·x + 2)= 4

x--->2-

che si traduce nella condizione

4·a + 2·b + 2 = 4

Per trovare tutti e due i coefficienti, introduciamo la condizione sulla derivata in x=2

La seconda componente ha come derivata:

y'=- 16/(x + 2)^2 che per x=2 assume il valore: - 16/(2 + 2)^2----->y'(2)= -1

La derivata della prima componente è:

2·a·x + b che per x-->2-    è  2·a·2 + b= 4·a + b

Quindi  altra condizione: 4·a + b = -1

Abbiamo quindi un sistema lineare in a e b:

{4·a + 2·b + 2 = 4

{4·a + b = -1

che risolto fornisce la soluzione del problema: [a = -1 ∧ b = 3]

Quindi la funzione definita a tratti:

y=

{- x^2 + 3·x + 2 per 0 ≤ x < 2

{16/(x + 2) per 2 ≤ x ≤ 6

è quella che soddisfa il problema nell'intervallo chiuso: [0, 6]

xo = 2 fa parte dell'intervallo ed é interno.

Quindi limite sinistro e limite destro devono coincidere

4a + 2b + 2 = 16/4 => 4a + 2b = 2 => 2a + b = 1

La derivabilità nei punti interni esige che sia

2ax + b (x=2) = - 16/(x+2)^2 (x=2)

4a + b = -1

per differenza 2a = -2 => a = -1 e b = 1-2a = 1+2 = 3

Agli estremi dell'intervallo

f(0) = 2 e f(6) = 16/(6+2) = 2

TEOREMA DI ROLLE: se una funzione f(x)
1) è continua in un intervallo chiuso [a, b]
2) è derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto (a, b)
3) assume valori uguali f(a) = f(b) negli estremi dell'intervallo
allora esiste almeno un punto c (punto critico o stazionario), interno ad (a, b), in cui la derivata si annulla, cioè
* (f'(c) = 0) & (a < c < b).
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FUNZIONE f(x) definita per distinzione di casi:
* (f(x) = u(x) = a*x^2 + b*x + 2) & (0 <= x < 2) oppure
oppure (f(x) = v(x) = 16/(x + 2)) & (2 <= x <= 6)
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VERIFICA delle ipotesi in [0, 6]
3) u(0) = v(6) ≡ a*0^2 + b*0 + 2 = 16/(6 + 2) ≡ Vero
1) u(2) = v(2) ≡ a*2^2 + b*2 + 2 = 16/(2 + 2) ≡ b = 1 - 2*a
2) u'(2) = v'(2) ≡ 2*a*2 + b = - 16/(2 + 2)^2 ≡ b = - (4*a + 1)
Le ipotesi uno e due diventano vere per
* (b = 1 - 2*a) & (b = - (4*a + 1)) ≡ (a = - 1) & (b = 3)
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RICERCA dei punti c tali che (f'(c) = 0) & (0 < c < 6).
Con
* (f'(x) = u'(x) = 3 - 2*x) & (0 <= x < 2) oppure
oppure (f(x) = v(x) = - 16/(x + 2)^2 < 0) & (2 <= x <= 6)
si ha
(f'(3/2) = 0) & (0 < 3/2 < 6)