Nel piano, rispetto ad un riferimento cartesiano $\mathcal{R}=(O ; x, y)$, è data la conica
$$
\text { C) } x^{2}-x y+y^{2}-2 y-3=0 \text { . }
$$
Classificare e scrivere in forma canonica la conica $\mathcal{C}$. Determinare inoltre l'equazione del centro della conica (nel sistema di riferimento $\mathcal{R}=(O ; x, y))$.
Buongiorno, qualcuno saprebbe spiegarmi come trovo la forma canonica nel seguente esercizio?
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Livello 2
La conica
* Γ ≡ p(x, y) = x^2 - x*y + y^2 - 2*y - 3 = 0
avendo zero a secondo membro dell'equazione e un polinomio p(x, y) ridotto e ordinato al primo membro è già espressa in forma normale canonica (forma implicita).
Per esprimerla nella forma normale standard (quella che facilita la classificazione, col termine noto a secondo membro) si procede con alcuni osservazioni semplificatrici (e relativi calcoli, ahinoi!).
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A) Si distingue fra parabola e conica a centro.
Se il complesso dei termini di secondo grado è un quadrato di binomio: parabola.
* x^2 - x*y + y^2 = (x - y)^2 + x*y != (u*x - v*y)^2
quindi Γ è una conica a centro.
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B) Il centro C di Γ è l'unico punto che azzera il gradiente di p(x, y).
* nabla[p(x, y)] = {2*x - y, - x + 2*y - 2} = {0, 0} ≡ C(2/3, 4/3)
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C) Si sposta in C(2/3, 4/3) l'origine del riferimento per eliminare i termini lineari.
Con
* (x = X + 2/3) & (y = Y + 4/3)
si ha
* Γ ≡ p(x, y) = x^2 - x*y + y^2 - 2*y - 3 = 0 ≡
≡ (X + 2/3)^2 - (X + 2/3)*(Y + 4/3) + (Y + 4/3)^2 - 2*(Y + 4/3) - 3 = 0 ≡
≡ P(X, Y) = X^2 - X*Y + Y^2 - 13/3 = 0
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D) Si ruota di θ per eliminare il termine rettangolare (NB: i nuovi (x, y) e non sono quelli sub A e B).
Con
* (X = x*cos(θ) - y*sin(θ)) & (Y = x*sin(θ) + y*cos(θ))
si ha
* Γ ≡ P(X, Y) = X^2 - X*Y + Y^2 - 13/3 = 0 ≡
≡ (x*cos(θ) - y*sin(θ))^2 - (x*cos(θ) - y*sin(θ))*(x*sin(θ) + y*cos(θ)) + (x*sin(θ) + y*cos(θ))^2 - 13/3 = 0 ≡
≡ ((2 - sin(2*θ))/2)*x^2 - (cos(2*θ))*x*y + ((2 + sin(2*θ))/2)*y^2 - 13/3 = 0
da questa si elimina il termine rettangolare per
* (cos(2*θ) = 0) & (- π/2 <= θ <= π/2) ≡ θ = ± π/4
e, p.es. con "θ = π/4", si ottiene
* Γ ≡ 3*x^2 + 9*y^2 = 26
NB: già questa forma basta a classificare Γ come ellisse.
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E) Si divide membro a membro per il secondo membro e termine a termine per il proprio coefficiente (NB: il nuovo "p(x, y)" non è quello sub A e B).
* Γ ≡ 3*x^2 + 9*y^2 = 26 ≡
≡ 3*x^2/26 + 9*y^2/26 = 1 ≡
≡ x^2/(26/3) + y^2/(26/9) = 1 ≡
≡ p(x, y) = (x/√(26/3))^2 + (y/(√26/3))^2 = 1
che evidenzia le caratteristiche:
* Γ è un'ellisse reale non collassata perché i termini di p(x, y) sono sommati e il secondo membro è positivo;
* i semiassi sono (a, b) = (√(26/3), √26/3);
* i fuochi sono sull'asse x perché a > b.
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Genius I
