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Algebra lineare

  

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In $\mathbb{R}^{4}$ si considerino $u_{1}=\left(\begin{array}{r}1 \\ 2 \\ -3 \\ -2\end{array}\right), u_{2}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), w_{1}=\left(\begin{array}{r}3 \\ 7 \\ -8 \\ -5\end{array}\right), w_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ e i sottospazi $U=\left\langle u_{1}, u_{2}\right\rangle$ e $W=\left\langle w_{1}, w_{2}\right\rangle$.
(a) Si determini $\operatorname{dim}(U+W)$.
(b) Si determini $\operatorname{dim}(U \cap W)$.
(Suggerimento: Si calcoli il rango della matrice avente le colonne $\left.u_{1}, u_{2}, w_{1}, w_{2} .\right)$

Screenshot 20211208 115848
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1 Risposta
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$ u_1 e u_2 $ sono linearmente indipendenti perché non sono uno multiplo dell’altro

Analogamente per $ w_1 e w_2 $

Quindi dim(S) = 2, dim (T) = 2.

Siccome $ w_1 = 3 u_1 + u_2 $ è $ w_2 = u_1 + 3 u_2 $ allora

dim(S ∩ T) = 2

Per la formula di Grassmann:

dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S ∩ T) = 2 + 2 - 2 = 2




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