Algebra

Punto a.

Per calcolare l'immagine di un numero attraverso una funzione si deve applicare la funzione a quel numero. In pratica devi sostituire quel numero al posto della $x$ dentro $f(x)$ e poi svolgere i calcoli, facendo attenzione a scegliere il tratto giusto.

• Immagine di $-3$: la funzione dice che se $x < - 2$ il risultato sarà sempre $-1$, quindi $f(-3) =-1$;
• Immagine di $-2$: dal testo, se $-2 \le x \le 1$ la funzione vale $x$ quindi $f(-2) = -2$;
• Immagine di $-1/2$: $-1/2 \in [-2,1]$ allora $f(-1/2) = -1/2$;
• Immagine di $0$ e immagine di $1$: $f(0) = 0$ e $f(1) = 1$ per gli stessi motivi;
• Immagine di $2$: se $x>1$, $f(x) = -x^2 +2x+2$, quindi $f(2) = -2^2 + 2\cdot2+2 = -4 +4 +2 = 2$.

Punto b.

Qui va fatto il contrario. Devi risolvere l'equazione fornita e otterrai una soluzione per ogni tratto in cui è definita la funzione.

• $f(x) = -1$

$f(x) = -1$ ha come soluzione l'intero intervallo $x<-2$ poiché lì la funzione vale sempre -1.

Poi bisogna risolvere $x = -1$ se $-2 \le x \le 1$, quindi $x =-1$ è accettabile.

Ancora $-x^2+2x+2 = -1$ con $x > 1$. L'ultima diventa:

$$-x^2 + 2x +2 = -1$$

$$-x^2 + 2x +3 = 0$$

$$x^2 -2x -3 = 0$$

$$(x-3)(x+1) = 0$$

Che ha soluzioni $x = 3$ e $x=-1$. Siccome siamo nel caso in cui $x>2$, $x = -1$ non è accettabile e solo $x=3$ è soluzione. Quindi $f(x) = -1$ se $x < -2$ oppure $x = -1$ oppure $x=3$.

• $f(x) = 2$

Per $f(x) = 2$ devi fare la stessa cosa.

Nel primo tratto la funzione ha sempre valore $f(x) = -1$, quindi non sarà mai uguale a $2$ e non ci sono soluzioni.

Nel secondo tratto devi risolvere $x = 2$ con la condizione che $-2\le x \le 1$ quindi non hai soluzioni ($x=2$ è fuori dall'intervallo).

Nel terzo tratto devi risolvere $-x^2+2x+2 = 2$, con $x > 1$:

$$-x^2 +2x +2 = 2$$

$$-x^2 + 2x = 0$$

$$-x(x-2) = 0$$

che ha soluzioni $x = 0$ e $x = 2$, solo la seconda è accettabile se $x>1$. Quindi, $f(x) = 2$ solo se $x=2$.