Un rettangolo di perimetro 12 , con i lati paralleli agli assi cartesiani, ha i vertici sull'iperbole di equazione $x^2-y^2=4$. Determina le coordinate dei vertici del rettangolo.
$$
\left[\left(\frac{13}{6}, \frac{5}{6}\right) ;\left(-\frac{13}{6}, \frac{5}{6}\right) ;\left(-\frac{13}{6},-\frac{5}{6}\right) ;\left(\frac{13}{6},-\frac{5}{6}\right)\right]
$$
77
punti
Livello 1
Potresti porre x = h e y = k
con 4h + 4k = 12 => k = 3 - h.
Ed entrambi positivi perché poi gli altri si ricavano per simmetria.
Deve poi essere
h^2 - k^2 = 4
h^2 - (3 - h)^2 - 4 = 0 e buona fortuna.
Aggiornamento
h^2 - h^2 + 6 h - 9 - 4 = 0
6h = 13
h = 13/6
k = 3 - 13/6 = 5/6
58341
punti
Livello 7
Indicando con P= (x;y), x ey>0 il vertice del rettangolo nel primo quadrante:
{x+y =3 (vista la simmetria della figura, iperbole equilatera riferita agli assi centrata nell'origine, la somma delle coordinate di P è 1/4 del perimetro del quadrilatero)
Dalla condizione di appartenenza del punto P(x;y) alla conica si ricava la condizione:
{x²-y² = 4
Utilizzando il prodotto notevole x²-y²=(x+y)*(x-y), ottengo:
{x+y=3
{x-y=4/3
Da cui si ricava:
x=13/6; y=5/6
Per simmetria determini i restanti vertici
77016
punti
Genius II
L'iperbole
* Γ ≡ x^2 - y^2 = 4 ≡ (x/2)^2 - (y/2)^2 = 1
è centrata nell'origine, ha assi di simmetria su quelli coordinati, fuochi sull'asse x e semiassi a = b = 2; quindi il rettangolo descritto ha simmetria quadrantale e basta determinarne il vertice nel primo quadrante nel punto di Γ in cui la somma delle coordinate è un quarto del perimetro, cioè in cui y = 3 - x.
* (y = 3 - x) & ((x/2)^2 - (y/2)^2 = 1) ≡ (13/6, 5/6)
I richiesti quattro vertici sono V(± 13/6, ± 5/6).
57798
punti
Genius I
