[Risolto] Aiutoo esercizio!!!

Iniziamo espandendo i quadrati all'interno dell'equazione:

(x/2 + 3)^2 - 2(x/2 + 3)(2x + 1) + (2x - 1)^2 = 0

(x/2 + 3)(x/2 + 3) - 2(x/2 + 3)(2x) - 2(x/2 + 3)(1) + (2x - 1)(2x - 1) = 0

(x^2/4 + 3x + 9) - 4x^2 - 12x - 2x - 1 + 4x^2 - 4x + 1 = 0

Ora semplifichiamo i termini simili e raccogliamo i termini simili:

x^2/4 - 2x + 9 = 0 x^2 - 8x + 36 = 0

(moltiplicando per 4 per semplificare la frazione)

Fattorizziamo l'equazione, cercando due numeri che moltiplicati tra loro danno il coefficiente del termine di grado 2 (1) e sommati danno il coefficiente del termine di grado 1 (-8).

Questi numeri sono -2 e -6: (x - 2)(x - 6) = 0

Uguagliamo ogni fattore a zero e risolviamo le equazioni che ne derivano:

x - 2 = 0 ---> x = 2

x - 6 = 0 ---> x = 6

Verifichiamo che le soluzioni ottenute soddisfino l'equazione originale. Sostituiamo x=2 e x=6 nell'equazione originale:

Per x=2:

(x/2 + 3)^2 - 2(x/2 + 3)(2x + 1) + (2x - 1)^2 = (2/2 + 3)^2 - 2(2/2 + 3)(22 + 1) + (22 - 1)^2 = 0

Per x=6:

(x/2 + 3)^2 - 2(x/2 + 3)(2x + 1) + (2x - 1)^2 = (6/2 + 3)^2 - 2(6/2 + 3)(26 + 1) + (26 - 1)^2 = 0

Quindi, x=2 e x=6 sono soluzioni dell'equazione di secondo grado. Pertanto, le soluzioni dell'equazione sono x=2 e x=6.

Riconosco che:

(x/2 + 3)^2 + 2·(x/2 + 3)·(2·x - 1) + (2·x - 1)^2 = 0

è il quadrato di un binomio in cui pongo:

Α = x/2 + 3

Β = 2·x - 1

Quindi: (Α + Β)^2

Il polinomio al 1° membro equivale a:

(x/2 + 3 + 2·x - 1)^2 = 0

(5·x/2 + 2)^2 = 0

(5·x + 4)^2/4 = 0

x = - 4/5

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Il polinomio a primo membro dell'equazione
* (x/2 + 3)^2 - 2*(x/2 + 3)*(2*x - 1) + (2*x - 1)^2 = 0
ha la forma dello sviluppo di (u - v)^2 con
* u = x/2 + 3
* v = 2*x - 1
quindi
* (x/2 + 3)^2 - 2*(x/2 + 3)*(2*x - 1) + (2*x - 1)^2 = 0 ≡
≡ (u - v)^2 = 0 ≡
≡ u = v ≡
≡ x/2 + 3 = 2*x - 1 ≡
≡ x = 8/3

E' del tipo A^2 - 2AB + B^2 = 0 con A = x/2 + 3 e B = 2x - 1

(x/2 + 3 - 2x + 1)^2 = 0

- 3/2 x + 4 = 0

3/2 x = 4

x = 4*2/3 = 8/3