Nel trapezio isoscele ABCD la base maggiore AB misura 2a e la diagonale AC è la bisettrice dell'angolo BAD.
a. Dimostra che AD = DC = BC.
b. Determina l'angolo BAD in modo che il perimetro del trapezio sia 5a.
RISPOSTA
Ponendo BAD = 2x, si giunge all'equazione 2 sin x = sin 3x, che nell'ipotesi0 < x <π/4
imposta dal problema equivale a 4 cos²x-3= 0; l'unica soluzione del problema è x =π/6
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Livello 0
ho fatto il primo punto non capisco come fare il punto B
Non è necessario risolvere una equazione goniometrica per risolvere il problema. Buona notte.
Se il trapezio è isoscele , significa che AD = BC (sono congruenti) come pure gli angoli adiacenti alla base AB. Siccome AC è bisettrice per ipotesi dell’angolo α il triangolo ADC deve risultare isoscele in quanto gli angoli alla base AC di tale triangolo devono essere uguali.
Quindi AD=CD=BC.
Se si vuole poi che il perimetro del trapezio valga 5·a ognuno di questi tre lati deve valere a.
La proiezione di ciascun lato obliquo sulla base maggiore AB dovrà quindi valere (2·a - a)/2 = a/2
Ne consegue che gli angoli alla base AB debbano valere ognuno 60°
N.B. CHB è la metà di un triangolo equilatero.
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Genius III
@lucianop 👍👌👍
Perimetro = 5a;
2a + AD + CD + BC = 5a;
AD + CD + BC = 5a - 2a;
AD + CD + BC = 3a;
Poiché sono congruenti la base minore e i due lati obliqui misurano ciascuno a;
AH = KB;
AH = (AB - CD) / 2 = (2a - a) / 2;
AH = a/2;
Nel triangolo rettangolo AHD, l'ipotenusa è AD = a;
il cateto AH = a/2;
il coseno dell'angolo DAB è:
cos (angolo) = AH / AD = (a/2) : a;
cos(angolo) = 1/2;
(angolo DAB) = arccos(1/2) = 60°;
60° = π/3 rad; (in questo trapezio l'angolo alla base maggiore è 60°).
@pablo007 ciao.
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Genius II
@mg 👍👌❤👍
trapezio ABCD isoscele, pertanto BC = AD
angolo DAC = angolo DCA (angoli alterni interni di 2 parallele tagliate da una trasversale)
triangolo DAC isoscele per avere i due angoli alla base uguali, pertanto CD = AD = BC
poiché 2p = 5a ed AB = 2a, allora AD+CD+BC = 5a-2a = 3a e CD = AD = BC = 3a/3 = a
AH = (2a-a)/2 = a/2
triangolo ADH = metà di un triangolo equilatero, per cui angolo DAH = 60°
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Genius III
👍 👍 👍
