[Risolto] AIUTO! Studio di una funzione (intersezione con assi, simmetrie, studio del segno, ricerca asintoti) devo trovare questi punti!

La funzione è polinomiale di terzo grado, con solo i termini di potenza dispari, quindi è una funzione dispari (cioè tale che $f(x)=-f(-x)$, ovvero è simmetrica rispetto all'origine).

l'origine è sicuramente un punto di intersezione con gli assi, infatti se cerchi gli zeri della funzione, cioè se poni

$x^3+10x=0$ puoi mettere in evidenza una $x$ e scrivere:

$x(x^2+10)=0$ che nei reali ha un'unica soluzione, ovvero $x=0$, in quanto $(x^2+10)=0$ ha soltanto soluzioni nel campo dei numeri complessi.

Pertanto l'unico incontro con gli assi è l'origine, ovvero $O(0,0)$

Per lo studio del segno usi la stessa fattorizzazione:

$x(x^2+10)>0$ e osservi che $(x^2+10)$ è sempre strettamente >0, quindi il segno è dato soltanto dal termine $x$:

Per $x<0$ hai che $f(x)<0$, per $x>0$ hai che $f(x)>0$

Per x che tende a +infinito la funzione tende a +infinito e per ragioni di simmetria già dette all'inizio, per x che tende a -infinito la funzione tende a -infinito.

Essendo polinomiale di 3 grado non ha asintoti obliqui, così come non ne ha di orizzontali nè verticali.