Problema 1
L'esercizio potrebbe sembrare molto più complesso di quanto non sia, un buon modo di procedere consiste nel trovare prima tutti gli ingredienti che ci servono e poi procedere con la scelta del punto.
Calcoliamo la tangente $t$ alla parabola $y=x^{2}+6 x$ nel punto $B=(-6,0)$. Per farlo consideriamo la generica equazione della retta
$y=m x+q$
e imponiamo il passaggio per il punto $B$. Dunque le coordinate del punto devono soddisfare l'equazione della retta.
$-6 m+q=0 \rightarrow q=6 m$
abbiamo l'equazione della retta nella forma
$y=m x+6 m$
Ora imponiamo la condizione di tangenza con la parabola nel punto: mettendo a sistema l'equazione della retta e della parabola, dobbiamo richiedere che il discriminante dell'equazione di secondo grado che ne risulta sia nullo. Questo fornirà un'equazione in $m$ che determinerà in modo univoco
$m .$
$y=m x+6 m$
$y=x^{2}+6 x$
Troviamo
$$
x^{2}+(6-m) x-6 m=0
$$
Calcoliamone il $\Delta$ e poniamolo uguale a zero
$$
\begin{aligned}
&\Delta=(6-m)^{2}-4(1)(-6 m)=36-12 m+m^{2}+24 m=m^{2}+12 m+36= \\
&(m+6)^{2}=0
\end{aligned}
$$
che ha soluzione $m=-6 .$ La retta tangente alla parabola nel punto $B$ ha dunque equazione $y=-6 x-36$
Calcolare la normale alla parabola nel punto $B$ non è difficile, basta ricordarsi che la normale ad una curva in un punto è perpendicolare alla tangente condotta alla curva nel punto stesso. Ci basta allora prendere il coefficiente angolare della tangente e calcolarne il reciproco dell'opposto (condizione per avere rette perpendicolari). In poche parole
$$
m_{n}=-\frac{1}{m_{t}}=\frac{1}{6}
$$
Per trovare l'equazione della normale dobbiamo solamente considerare la formula per l'equazione di una retta di cui è noto il coefficiente angolare e un punto che le appartiene (retta per un punto)
$$
y-y_{B}=m_{n}\left(x-x_{B}\right)
$$
e sostituire coordinate del punto e coefficiente angolare
$$
y=\frac{1}{6}(x+6)=\frac{1}{6} x+1
$$
Siamo pronti a calcolare la distanza di un generico punto $P$ sito sulla parabola dalle due rette. L'unica premessa necessaria è che, naturalmente, il punto $P$ lo scriviamo nella forma
$$
P=\left(x, x^{2}+6 x\right)
$$
Applichiamo, in entrambi $i$ casi, la formula della distanza retta-punto:
$d($ retta, punto $)=\frac{\left|a x_{\text {punto }}+b y_{\text {punto }}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
dove $a, b, c$ sono i coefficienti della retta scritta nella forma $a x+b y+c=0$. Le due rette che consideriamo si scrivono quindi come
$t: 6 x+y+36=0$
$n: x-6 y+6=0$
Vai col tango:
$d(t, P)=\frac{\left|6 x+x^{2}+6 x+36\right|}{\sqrt{37}}=\frac{\left|x^{2}+12 x+36\right|}{\sqrt{37}}$
$d(n, P)=\frac{\left|x-6\left(x^{2}+6 x\right)+6\right|}{\sqrt{37}}=\frac{\left|-6 x^{2}-35 x+6\right|}{\sqrt{37}}$
Non resta che imporre l'equazione
$d(t, P)+d(n, P)=\frac{60}{\sqrt{37}}$
e risolverla considerando che $-6 \leq x \leq 0$. L'equazione si semplifica molto rispetto alla sua forma
originaria:
$\frac{\left|x^{2}+12 x+36\right|}{\sqrt{37}}+\frac{\left|-6 x^{2}-35 x+6\right|}{\sqrt{37}}=\frac{60}{\sqrt{37}}$
il primo modulo ha argomento sempre positivo, il secondo modulo invece ha argomento positivo sull'intervallo d'ascisse considerato cosicché
$x^{2}+12 x+36-6 x^{2}-35 x+6=60$
$-5 x^{2}-23 x-18=0$
Il calcolo delle soluzioni dell'equazione di secondo grado lo lascio a te
