[Risolto] Esercizio circonferenze

ciao!

Possiamo determinare univocamente la circonferenza più bassa perché passa per tre punto $O$, $B(4;0)$ e $A(3;1)$ imponendo il passaggio per essi nell'equazione generale della circonferenza

$x^2+y^2+ax+by+c = 0 $

$\begin{cases} 0^2+0^2+a0+b0+c = 0  \\ 4^2+0^2+4a+0+c = 0 \\ 3^2+1^2+3a+b+c = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = 0  \\ 16+4a= 0 \\ 10+3a+b = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = 0  \\ a= -4 \\ 10-12+b = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} c = 0  \\ a= -4 \\ b=2  \end{cases} $

Quindi la circonferenza è: $x^2+y^2-4x+2y = 0 $

e ha raggio $r^2 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} - c = 4+1 = 5 $

La seconda circonferenza quindi passa per $A$ e $B$ ma ha raggio $\sqrt{5}$:

$\begin{cases} 5 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} - c  \\ 4^2+0^2+4a+0+c = 0 \\ 3^2+1^2+3a+b+c = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} 5 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} - c \\ 16+4a+c= 0 \\ 10+3a+b +c = 0 \end{cases} $

$\begin{cases} 5 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} - c  \\ a-b= -6\\ c= -10-3a-b \end{cases} $

$\begin{cases} 5 = \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4} - c  \\ a= b -6\\ c= 8-4b   \end{cases} $

Sostituiamo tutto nella prima:

$5 = \frac{(b -6)^2}{4}+\frac{b^2}{4} - (8-4b )$

otteniamo $b^2+2b-8= 0 $

che ci dà $b = 2$ (la circonferenza di prima) e $b = -4$, che corrisponde alla nostra circonferenza.

Da cui: $ a = -10$ e $ c = 24$

$x^2+y^2-10x-4y+4 = 0$

 

Le tangenti da $Q(2; -6)$ sono date dalle rette passanti per $Q$ che soddisfano la condizione di tangenza $\Delta = 0$

Le rette generiche passanti per $Q$ sono: $-6 = 2m+q \Rightarrow q = -6-2m$

$\Rightarrow y = mx-6-2m $

Intersechiamole con la prima circonferenza:

$\begin{cases} y = mx-6-2m \\ x^2+y^2-4x+2y = 0  \end{cases} $

... poi ho sbagliato i calcoli e non mi viene. Se mi viene te lo posto nei commenti!